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京都大学 理系 2006年度後期 第2問 解説

問題編

【問題】
 aを実数として、行列Aを$A=\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix}$と定める。$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$とし、数列$\{x_n\}$、$\{y_n\}$を次の式で定める。\[ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix}, \quad n=1,2,\cdots \]

 このとき数列$\{x_n\}$が収束するためのaの必要十分条件を求めよ。

【考え方】
何も考えなければ、「$A^n$を求める」という攻め方になるでしょう。ただ、今の場合Aの形が特殊なので、$A^n$を求めることなく$x_n$を求めることができます。

ここでは、まず「$A^n$を求める」解答を書いた後に、別解として「$A^n$を求めない」方法も書きたいと思います。


解答編

【問題】
 aを実数として、行列Aを$A=\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix}$と定める。$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$とし、数列$\{x_n\}$、$\{y_n\}$を次の式で定める。\[ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix}, \quad n=1,2,\cdots \]

 このとき数列$\{x_n\}$が収束するためのaの必要十分条件を求めよ。

【解答】
\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}なので、$A^n$を考える。

$A-\lambda E$の行列式は
\begin{eqnarray} (a-\lambda)^2 -(1-a)^2 &=& (a-\lambda+1-a)(a-\lambda-1+a) \\ &=& (1-\lambda)(2a-\lambda-1) \\ \end{eqnarray}なので、Aの固有値は$\lambda =1,2a-1$である。

以下では、$a\ne 1$とする。このとき、$2a-1\ne 1$なので、Aは2つの異なる固有値を持つ。

$\lambda =1$に対応する固有ベクトルを求める。
\begin{eqnarray} & & \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\[5pt] & & \left\{ \begin{array}{l} ax +(1-a)y = x \\ (1-a)x + ay = y \end{array} \right. \\[5pt] & & \left\{ \begin{array}{l} (1-a)y = (1-a)x \\ (1-a)x = (1-a)y \end{array} \right. \end{eqnarray}であり、$a\ne 1$だから、$x=y$が得られる。よって固有ベクトルは$t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$と書ける。 次に、$\lambda =2a-1$に対応する固有ベクトルを求める。 \begin{eqnarray} & & \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (2a-1)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\[5pt] & & \left\{ \begin{array}{l} ax +(1-a)y = (2a-1)x \\ (1-a)x + ay = (2a-1)y \end{array} \right. \\ \\[5pt] & & \left\{ \begin{array}{l} (1-a)x +(1-a)y = 0 \\ (1-a)x +(1-a)y = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}であり、$a\ne 1$だから、$x=-y$が得られる。よって固有ベクトルは$t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$と書ける。 よって、$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$とすると、 \begin{eqnarray} P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2a-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}となる。また、$P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$である。以上から、 \begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} &=& A^n\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& P\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2a-1 \end{pmatrix}^nP^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (2a-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+(2a-1)^n \\ 1-(2a-1)^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}となる。これより、$\{x_n\}$が収束することと$(2a-1)^n$が収束することは同値。よって、$-1\lt 2a-1 \leqq 1$となる。つまり、$0\lt a \leqq 1$となる。$a\ne 1$のときを考えていたので、$0\lt a \lt 1$となる。 また、$a=1$のとき、Aは単位行列なので、明らかに$\{x_n\}$は収束する。 以上から、求める条件は$0\lt a \leqq 1$となる。 【解答終】 【解説】 Aが一般的な行列であれば、上のような解き方が基本的な流れになります。ただ、今の場合、Aが特殊な形をしているので、次のようにもっと簡単に解くこともできます。 【別解】 \begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}より、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_n =ax_{n-1} +(1-a)y_{n-1} \quad \cdots (1) \\ y_n =(1-a)x_{n-1} +ay_{n-1} \quad \cdots (2) \end{array} \right. \end{eqnarray}が成り立つ。 (1)+(2)より、$x_n+y_n = x_{n-1}+y_{n-1}=x_0+y_0=1$となる。 また、(1)-(2)より \begin{eqnarray} x_n -y_n &=& (2a-1)x_{n-1}+(1-2a)y_{n-1} \\ &=& (2a-1) ( x_{n-1}-y_{n-1} ) \\ &=& (2a-1)^n ( x_0-y_0 ) \\ &=& (2a-1)^n \end{eqnarray}となる。よって、$x_n=\frac{1+(2a-1)^n}{2}$なので、$\{x_n\}$が収束するための条件は$-1\lt 2a-1\leqq 1$、つまり、$0\lt a \leqq 1$となる。 【別解終】

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