京都大学 文系 2013年度 第3問 解説
問題編
問題
n と k を自然数とし、整数 $x^n$ を整式 $(x-k)(x-k-1)$ で割った余りを $ax+b$ とする。
(1) a と b は整数であることを示せ。
(2) a と b をともに割り切る素数は存在しないことを示せ。
考え方
京都大学 理系 2013年度 第3問 解説と少し似ていますが、割る式が異なっています。
形から剰余の定理を使うことが予想されます。(2)は k の条件で考えるとわかりやすいでしょう。
解答編
問題
n と k を自然数とし、整数 $x^n$ を整式 $(x-k)(x-k-1)$ で割った余りを $ax+b$ とする。
(1) a と b は整数であることを示せ。
(2) a と b をともに割り切る素数は存在しないことを示せ。
解答
(1)
$x^n$ を $(x-k)(x-k-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とおく。すると、\[ x^n=(x-k)(x-k-1)Q(x)+ax+b \]と書ける。
ここで、 $x=k$ とすると\[ k^n=ak+b \]となり、 $x=k+1$ とすると\[ (k+1)^n=a(k+1)+b \]が得られる。
この2つの式を辺々引くと\[ (k+1)^n-k^n = a \]が得られる。 n, k は自然数だから、 a が整数であることがわかる。
また、\[ b=k^n-ak \]より、 b も整数であることがわかる。
よって、 a, b はともに整数である。
(2)
a, b がともに素数 p で割り切れるとすると、(1)の途中で導いた2つの式
\begin{eqnarray}
k^n &=& ak+b \\[5pt]
(k+1)^n &=& a(k+1)+b \\[5pt]
\end{eqnarray}から、 $k^n$ も $(k+1)^n$ も p で割り切れる。 p は素数なので、 $k$ も $k+1$ もともに p で割り切れる。よって、この差も p の倍数となるが、差は $1$ なので、素数 p で割り切れることはない。
よって、 a, b をともに割り切る素数は存在しない。
（終）
解説
(1)は、剰余の定理を応用して考えます。n, k が自然数であることから、すぐに示せます。
(2)は、 a, b を直接使うよりも、 k の話にするほうが考えやすくなります。ともに割り切れるなら、差も割り切れる、ということを利用して、「割り切れるなら、矛盾する」ことを示します。