センター試験 数学II・数学B 2020年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

(正規分布表は省略しています)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$ 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布票を用いてもよい。

 ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った。

(1) ある高校の生徒720人全員を対象に、ある1週間に市立図書館で借りた本の冊数について調査を行った。

 その結果、1冊も借りなかった生徒が612人、1冊借りた生徒が54人、2冊借りた生徒が36人であり、3冊借りた生徒が18人であった。4冊以上借りた生徒はいなかった。

 この高校の生徒から1人を無作為に選んだとき、その生徒が借りた本の冊数を表す確率変数を $X$ とする。

 このとき、 $X$ の平均(期待値)は $E(X)=\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ であり、 $X^2$ の平均は $E(X^2)=\dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ である。よって、 $X$ の標準偏差は $\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{\myBox{オ}}}{\myBox{カ}}$ である。

(2) 市内の高校生全員を母集団とし、ある1週間に市立図書館を利用した生徒の割合(母比率)を $p$ とする。この母集団から600人を無作為に選んだとき、その1週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数 $Y$ で表す。

 $p=0.4$ のとき、 $Y$ の平均は $E(Y)=\myBox{キクケ}$ 、標準偏差は $\sigma(Y)=\myBox{コサ}$ になる。ここで、 $Z=\dfrac{Y-\mybox{キクケ}}{\mybox{コサ}}$ とおくと、標本数600は十分に大きいので、 $Z$ は近似的に標準正規分布に従う。このことを利用して、 $Y$ が215以下となる確率を求めると、その確率は $0.\myBox{シス}$ になる。

 また、 $p=0.2$ のとき、 $Y$ の平均は $\mybox{キクケ}$ の $\dfrac{1}{\myBox{セ}}$ 倍、標準偏差は $\mybox{コサ}$ の $\dfrac{\sqrt{\myBox{ソ}}}{3}$ 倍である。

(3) 市立図書館に利用者登録のある高校生全員を母集団とする。1回あたりの利用時間(分)を表す確率変数を $W$ とし、 $W$ は母平均 $m$ 、母標準偏差30の分布に従うとする。この母集団から大きさ $n$ の標本 $W_1,W_2,\cdots,W_n$ を無作為に抽出した。

 利用時間が60分をどの程度超えるかについて調査するために\[ U_1=W_1-60,U_2=W_2-60,\cdots,U_n=W_n-60 \]とおくと、確率変数 $U_1,U_2,\cdots,U_n$ の平均と標準偏差はそれぞれ
\begin{eqnarray}
& & E(U_1)=E(U_2)=\cdots=E(U_n)=m-\myBox{タチ} \\[5pt] & & \sigma(U_1)=\sigma(U_2)=\cdots=\sigma(U_n)=\myBox{ツテ} \\[5pt] \end{eqnarray}
である。

 ここで、 $t=m-60$ として、 $t$ に対する信頼度95%の信頼区間を求めよう。この母集団から無作為抽出された100人の生徒に対して $U_1,U_2,\cdots,U_{100}$ の値を調べたところ、その標本平均の値が50分だった。標本数は十分大きいことを利用して、この信頼区間を求めると\[ \myBox{トナ}.\myBox{ニ} \leqq t \leqq \myBox{ヌネ}.\myBox{ノ} \]になる。

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考え方

幅広く、基本的な内容が問われるセットです。計算量も多くはなく、過去問などで練習していれば、それほど難しく感じるところはないでしょう。