センター試験 数学II・数学B 2020年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$
(1) $t$ は正の実数であり、 $t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}=-3$ を満たすとする。このとき\[ t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}=\myBox{タチ} \]である。さらに\[ t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\sqrt{\myBox{ツテ}}, \ t-t^{-1}=\myBox{トナニ} \]である。

(2) $x,y$ は正の実数とする。連立不等式
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\log_3 (x\sqrt{y}) \leqq 5 \quad \cdots ② \\
\log_{81} \dfrac{y}{x^3} \leqq 1 \quad \cdots ③ \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}について考える。

 $X=\log_3 x$, $Y=\log_3 y$ とおくと、②は\[ \myBox{ヌ}X+Y\leqq\myBox{ネノ} \quad \cdots ④ \]と変形でき、③は\[ \myBox{ハ}X-Y\geqq\myBox{ヒフ} \quad \cdots ⑤ \]と変形できる。

 $X, Y$ が④と⑤を満たすとき、 $Y$ のとり得る最大の整数の値は $\myBox{ヘ}$ である。また、 $x,y$ が②, ③と $\log_3y=\mybox{ヘ}$ を同時に満たすとき、 $x$ のとり得る最大の整数の値は $\myBox{ホ}$ である。

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教科書や従来の参考書では、いろいろ書かれているわりに、読者が一番知りたい肝心なことは省かれている傾向があります。本書は、ここを重点的に丁寧に解説しました。ですから、しっかり読んでもらえばスムーズに理解してもらえるはずです。本書は気楽に読めて即効的な力がつくことを謳うものではありません。しっかり読む人に、数学的な心と考えること理解することの喜びと力を伝えるものです。
著者:長岡 亮介
出版社:旺文社
発売日:2012-09-23
ページ数:752 ページ
値段:¥1,870
(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(1)は、式の値を求める、よくある計算です。

(2)は、前半は、対数の基本的な計算です。後半は、領域をかいて考えましょう。 $X, Y$ を考えているのか、 $x,y$ を考えているのか、混乱しないようにしましょう。

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