センター試験 数学II・数学B 2020年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$
(1) $t$ は正の実数であり、 $t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}=-3$ を満たすとする。このとき\[ t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}=\myBox{タチ} \]である。さらに\[ t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\sqrt{\myBox{ツテ}}, \ t-t^{-1}=\myBox{トナニ} \]である。

(2) $x,y$ は正の実数とする。連立不等式
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\log_3 (x\sqrt{y}) \leqq 5 \quad \cdots ② \\
\log_{81} \dfrac{y}{x^3} \leqq 1 \quad \cdots ③ \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}について考える。

 $X=\log_3 x$, $Y=\log_3 y$ とおくと、②は\[ \myBox{ヌ}X+Y\leqq\myBox{ネノ} \quad \cdots ④ \]と変形でき、③は\[ \myBox{ハ}X-Y\geqq\myBox{ヒフ} \quad \cdots ⑤ \]と変形できる。

 $X, Y$ が④と⑤を満たすとき、 $Y$ のとり得る最大の整数の値は $\myBox{ヘ}$ である。また、 $x,y$ が②, ③と $\log_3y=\mybox{ヘ}$ を同時に満たすとき、 $x$ のとり得る最大の整数の値は $\myBox{ホ}$ である。

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(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(1)は、式の値を求める、よくある計算です。

(2)は、前半は、対数の基本的な計算です。後半は、領域をかいて考えましょう。 $X, Y$ を考えているのか、 $x,y$ を考えているのか、混乱しないようにしましょう。