センター試験 数学II・数学B 2020年度 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$a\gt 0$ とし、 $f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ とおく。座標平面上で、放物線 $y=x^2+2x+1$ を $C$ 、放物線 $y=f(x)$ を $D$ とする。また、 $\ell$ を $C$ と $D$ の両方に接する直線とする。

(1) $\ell$ の方程式を求めよう。

 $\ell$ と $C$ は点 $(t,t^2+2t+1)$ において接するとすると、 $\ell$ の方程式は\[ y=\left(\myBox{ア}t+\myBox{イ}\right)x-t^2+\myBox{ウ} \quad \cdots ① \]である。また、 $\ell$ と $D$ は点 $(s,f(s))$ において接するとすると、 $\ell$ の方程式は
\begin{eqnarray}
y
&=&
\left(\myBox{エ}s-\myBox{オ}a+\myBox{カ}\right)x \\
& & -s^2+\myBox{キ}a^2+\myBox{ク} \quad \cdots ②
\end{eqnarray}である。ここで、①と②は同じ直線を表しているので、 $t=\myBox{ケ}$, $s=\myBox{コ}a$ が成り立つ。

 したがって、 $\ell$ の方程式は $y=\myBox{サ}x+\myBox{シ}$ である。

(2) 二つの放物線 $C, D$ の交点の $x$ 座標は $\myBox{ス}$ である。

 $C$ と直線 $\ell$ 、および直線 $x=\mybox{ス}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると、 $S=\dfrac{a^{\myBox{セ}}}{\myBox{ソ}}$ である。

(3) $a\geqq \dfrac{1}{2}$ とする。二つの放物線 $C, D$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の中で、 $0\leqq x\leqq 1$ を満たす部分の面積 $T$ は、 $a\gt\myBox{タ}$ のとき、 $a$ の値によらず\[ T=\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}} \]であり、 $\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq \mybox{タ}$ のとき\[ T=-\myBox{テ}a^3+\myBox{ト}a^2-\myBox{ナ}a+\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}} \]である。

(4) 次に、(2), (3) で定めた $S, T$ に対して $U=2T-3S$ とおく。 $a$ が $\dfrac{1}{2}\leqq a \leqq \mybox{タ}$ の範囲を動くとき、 $U$ は $a=\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}$ で最大値 $\dfrac{\myBox{ハ}}{\myBox{ヒフ}}$ をとる。

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考え方

(1)は、2つの曲線に接する直線を考える典型的な問題です。1つの直線を2通りに表して、方程式を作っていきます。

(3)は、まずグラフがどのような状況になっているかを考えましょう。 $a$ の値が変化することで、囲まれた図形が大きく変化するところがあるので、そこに注目します。

どの部分の面積を求めるのか、追っていくのが大変ですが、何を求めるかがわかればそれほど計算量は多くありません。