センター試験 数学II・数学B 2020年度 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に2点 $\mathrm{A}(3,3,-6)$, $\mathrm{B}(2+2\sqrt{3},2-2\sqrt{3},-4)$ をとる。3点 $\mathrm{O, A, B}$ の定める平面を $\alpha$ とする。また、 $\alpha$ に含まれる点 $\mathrm{C}$ は\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\perp \overrightarrow{ \mathrm{ OC } }, \quad \overrightarrow{ \mathrm{ OB } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OC } }=24 \quad \cdots ①\]を満たすとする。

(1) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\myBox{ア}\sqrt{\myBox{イ}}$, $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}}$ であり、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\myBox{オカ}$ である。

(2) 点 $\mathrm{C}$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、実数 $s,t$ を用いて、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と表すことができる。このとき、①から $s=\dfrac{\myBox{キク}}{\myBox{ケ}}$, $t=\myBox{コ}$ である。したがって、 $|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シ}}$ である。

(3) $\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\left(\myBox{ス},\myBox{セ},\myBox{ソタ}\right)$ である。したがって、平面 $\alpha$ 上の四角形 $\mathrm{OABC}$ は $\myBox{チ}$ 。 $\myBox{チ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

 0: 正方形である

 1: 正方形ではないが、長方形である

 2: 長方形ではないが、平行四辺形である

 3: 平行四辺形ではないが、台形である

 4: 台形ではない

 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ であるので、四角形 $\mathrm{OABC}$ の面積は $\myBox{ツテ}$ である。

(4) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2\sqrt{6}$ かつ $z$ 座標が $1$ であるような点 $\mathrm{D}$ の座標は\[\left(\myBox{ト}+\dfrac{\sqrt{\myBox{ナ}}}{\myBox{ニ}}, \myBox{ヌ}-\dfrac{\sqrt{\myBox{ネ}}}{\myBox{ノ}},1\right)\]である。このとき $\angle \mathrm{COD}=\myBox{ハヒ}^{\circ}$ である。

 3点 $\mathrm{O,C,D}$ の定める平面を $\beta$ とする。 $\alpha$ と $\beta$ は垂直であるので、三角形 $\mathrm{ABC}$ を底面とする四面体 $\mathrm{DABC}$ の高さは $\sqrt{\myBox{フ}}$ である。したがって、四面体 $\mathrm{DABC}$ の体積は $\myBox{ヘ}\sqrt{\myBox{ホ}}$ である。

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考え方

(1)は、基本的な内積の計算です。(2)も、どの条件式を使うのかが指定されているので、内積の計算をしていきます。

(3)は見慣れない形式ですが、各辺をベクトルで表すと、答えを特定することができます。

(4)は四面体の体積を求めますが、高さをどう求めるかがネックです。空間なので考えづらいですが、今まで求めたものをヒントにして考えていきます。