センター試験 数学II・数学B 2020年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$
(1) $0\leqq \theta \lt 2\pi$ のとき\[ \sin\theta\gt\sqrt{3}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right) \quad \cdots ① \]となる $\theta$ の値の範囲を求めよう。

 加法定理を用いると\[ \sqrt{3}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{\myBox{ア}}}{\myBox{イ}}\cos\theta+\dfrac{\myBox{ウ}}{\mybox{イ}}\sin\theta \]である。よって、三角関数の合成を用いると、①は、\[ \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{\myBox{エ}}\right) \lt 0 \]と変形できる。したがって、求める範囲は\[ \dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}\pi \lt \theta \lt \dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\pi \]である。

(2) $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ とし、 $k$ を実数とする。 $\sin\theta$ と $\cos\theta$ は $x$ の2次方程式 $25x^2-35x+k=0$ の解であるとする。このとき、解と係数の関係により $\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の値を考えれば、 $k=\myBox{ケコ}$ であることがわかる。

 さらに、 $\theta$ が $\sin\theta\geqq \cos\theta$ を満たするとすると、 $\sin\theta=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$, $\cos\theta=\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$ である。このとき、 $\theta$ は $\myBox{ソ}$ を満たす。 $\myBox{ソ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: $0\leqq \theta \lt \dfrac{\pi}{12}$

 1: $\dfrac{\pi}{12}\leqq \theta \lt \dfrac{\pi}{6}$

 2: $\dfrac{\pi}{6}\leqq \theta \lt \dfrac{\pi}{4}$

 3: $\dfrac{\pi}{4}\leqq \theta \lt \dfrac{\pi}{3}$

 4: $\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta \lt \dfrac{5}{12}\pi$

 5: $\dfrac{5}{12}\pi\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$

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考え方

(1)は、加法定理や合成を使って、三角関数を含んだ不等式を解く問題です。標準的な内容です。

(2)は、解と係数の関係が出てきますが、三角関数を用いた基本的な計算を行います。後半は角度の大きさですが、 $\sin\theta$ の値がわかっても角度がわからないので、角度と正弦の値の関係を利用して考えていくようにします。

(2)の方が変わった出題方法なので難しく感じるかもしれませんが、よく見ると、ほとんど1Aの範囲です。(1)の方が難しいです。