センター試験 数学II・数学B 2020年度 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$数列 $\{a_n\}$ は、初項 $a_1$ が $0$ であり、 $n=1,2,3,\cdots$ のとき次の漸化式を満たすものとする。\[ a_{n+1}=\dfrac{n+3}{n+1} \{3a_n+3^{n+1}-(n+1)(n+2)\} \ \cdots ① \]

(1) $a_2=\myBox{ア}$ である。

(2) $b_n=\dfrac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$ とおき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよう。

 $\{b_n\}$ の初項 $b_1$ は $\myBox{イ}$ である。①の両辺を $3^{n+1}(n+2)(n+3)$ で割ると\[ b_{n+1} = b_n +\dfrac{\myBox{ウ}}{(n+\myBox{エ})(n+\myBox{オ})}-\left(\dfrac{1}{\myBox{カ}}\right)^{n+1} \]を得る。ただし、 $\mybox{エ} \lt \mybox{オ}$ とする。

 したがって\[ b_{n+1}-b_n = \left(\dfrac{\myBox{キ}}{n+\mybox{エ}}-\dfrac{\mybox{キ}}{n+\mybox{オ}}\right) -\left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{n+1} \]である。

 $n$ を2以上の自然数とするとき
\begin{eqnarray}
& & \sum_{k=1}^{n-1} \left(\dfrac{\mybox{キ}}{k+\mybox{エ}}-\dfrac{\mybox{キ}}{k+\mybox{オ}}\right) = \dfrac{1}{\myBox{ク}} \left( \dfrac{n-\myBox{ケ}}{n+\myBox{コ}} \right)
\\[5pt] & & \sum_{k=1}^{n-1} \left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{k+1} = \dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}} -\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}} \left( \dfrac{1}{\mybox{カ}} \right)^n \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つことを利用すると\[ b_n = \dfrac{n-\myBox{ソ}}{\myBox{タ}\left(n+\myBox{チ}\right)} + \dfrac{\mybox{ス}}{\mybox{セ}} \left( \dfrac{1}{\mybox{カ}} \right)^n \]が得られる。これは $n=1$ のときも成り立つ。

(3) (2)により、 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n=\myBox{ツ}^{n-\myBox{テ}} \left(n^2-\myBox{ト}\right) + \dfrac{\left(n+\myBox{ナ}\right)\left(n+\myBox{ニ}\right)}{\myBox{ヌ}} \]で与えられる。ただし、 $\mybox{ナ} \lt \mybox{ニ}$ とする。
 このことから、すべての自然数 $n$ について、 $a_n$ は整数となることがわかる。

(4) $k$ を自然数とする。 $a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$ を $3$ で割った余りはそれぞれ $\myBox{ネ}$, $\myBox{ノ}$, $\myBox{ハ}$ である。また、 $\{a_n\}$ の初項から第2020項までの和を $3$ で割った余りは $\myBox{ヒ}$ である。

【広告】
日常学習と入試対策への必須問題を漏れなく収録。章トビラに、その章で扱う例題とコラムの一覧を掲載。本文は、定理や公式など、問題を解く上で基本となるものをまとめた「基本事項」、教科書で扱われているレベルの問題が中心の「基本例題」、入試対策に向けた、応用力の定着に適した問題がそろった「重要例題」などで構成。各単元末には、例題に関連する問題を取り上げた「EXERCISES」を収録。他の単元の内容が絡んだ問題や、応用度がかなり高い問題を題材とする例題は、「関連発展問題」として適宜章末などに収録。巻末には、基本~標準レベルの入試問題を中心に取り上げた「総合演習」、大学入学共通テストの対策ができる「実践編」を収録。
著者:チャート研究所
出版社:数研出版
発売日:2019-11-01
ページ数: ページ
値段:¥2,365
(2020年09月 時点の情報です)

考え方

いきなり戦意が喪失する式が見えますが、誘導はわりと丁寧です。(2)は変形の仕方が書いているので、与えられた式を利用して計算していきます。後半は階差数列からもとの数列を求める、というよくある流れですが、計算は大変です。

(3)や(4)は、そこまでの内容が解けていれば、ほとんど数列とは関係のない問題です。とくに(4)はおまけ的な感じがします。