センター試験数学II・数学B 2020年度第2問解説

🕒 2020/01/19 🔄 2023/05/01

【必答問題】

問題編

問題

　$a\gt 0$ とし、 $f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ とおく。座標平面上で、放物線 $y=x^2+2x+1$ を $C$ 、放物線 $y=f(x)$ を $D$ とする。また、 $\ell$ を $C$ と $D$ の両方に接する直線とする。

(1) $\ell$ の方程式を求めよう。

　$\ell$ と $C$ は点 $(t,t^2+2t+1)$ において接するとすると、 $\ell$ の方程式は\[ y=\left(\myBox{ア}t+\myBox{イ}\right)x-t^2+\myBox{ウ} \quad \cdots ① \]である。また、 $\ell$ と $D$ は点 $(s,f(s))$ において接するとすると、 $\ell$ の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& \left(\myBox{エ}s-\myBox{オ}a+\myBox{カ}\right)x \\ & & -s^2+\myBox{キ}a^2+\myBox{ク} \quad \cdots ② \end{eqnarray}である。ここで、①と②は同じ直線を表しているので、 $t=\myBox{ケ}$, $s=\myBox{コ}a$ が成り立つ。
　したがって、 $\ell$ の方程式は $y=\myBox{サ}x+\myBox{シ}$ である。

(2) 二つの放物線 $C, D$ の交点の $x$ 座標は $\myBox{ス}$ である。

　$C$ と直線 $\ell$ 、および直線 $x=\mybox{ス}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると、 $S=\dfrac{a^{\myBox{セ} }}{\myBox{ソ} }$ である。

(3) $a\geqq \dfrac{1}{2}$ とする。二つの放物線 $C, D$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の中で、 $0\leqq x\leqq 1$ を満たす部分の面積 $T$ は、 $a\gt\myBox{タ}$ のとき、 $a$ の値によらず\[ T=\dfrac{\myBox{チ} }{\myBox{ツ} } \]であり、 $\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq \mybox{タ}$ のとき\[ T=-\myBox{テ}a^3+\myBox{ト}a^2-\myBox{ナ}a+\dfrac{\myBox{ニ} }{\myBox{ヌ} } \]である。

(4) 次に、(2), (3) で定めた $S, T$ に対して $U=2T-3S$ とおく。 $a$ が $\dfrac{1}{2}\leqq a \leqq \mybox{タ}$ の範囲を動くとき、 $U$ は $a=\dfrac{\myBox{ネ} }{\myBox{ノ} }$ で最大値 $\dfrac{\myBox{ハ} }{\myBox{ヒフ} }$ をとる。

考え方

(1)は、2つの曲線に接する直線を考える典型的な問題です。1つの直線を2通りに表して、方程式を作っていきます。

(3)は、まずグラフがどのような状況になっているかを考えましょう。 $a$ の値が変化することで、囲まれた図形が大きく変化するところがあるので、そこに注目します。

どの部分の面積を求めるのか、追っていくのが大変ですが、何を求めるかがわかればそれほど計算量は多くありません。

【必答問題】

解答編

問題

　$a\gt 0$ とし、 $f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ とおく。座標平面上で、放物線 $y=x^2+2x+1$ を $C$ 、放物線 $y=f(x)$ を $D$ とする。また、 $\ell$ を $C$ と $D$ の両方に接する直線とする。

(1) $\ell$ の方程式を求めよう。

　$\ell$ と $C$ は点 $(t,t^2+2t+1)$ において接するとすると、 $\ell$ の方程式は\[ y=\left(\myBox{ア}t+\myBox{イ}\right)x-t^2+\myBox{ウ} \quad \cdots ① \]である。また、 $\ell$ と $D$ は点 $(s,f(s))$ において接するとすると、 $\ell$ の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& \left(\myBox{エ}s-\myBox{オ}a+\myBox{カ}\right)x \\ & & -s^2+\myBox{キ}a^2+\myBox{ク} \quad \cdots ② \end{eqnarray}である。

解説

$y=x^2+2x+1$ の $x=t$ での微分係数は $2t+2$ なので、 $\ell$ の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& (2t+2)(x-t) + (t^2+2t+1) \\[5pt] &=& (2t+2)x-2t^2-2t + (t^2+2t+1) \\[5pt] &=& (2t+2)x -t^2+1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

$f'(x)=2x-(4a-2)$ なので、 $\ell$ の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& \{2s-(4a-2)\}(x-s) +f(s) \\[5pt] &=& (2s-4a+2)x-2s^2+4as-2s \\ & & +s^2-(4a-2)s+4a^2+1 \\[5pt] &=& (2s-4a+2)x-s^2+4a^2+1 \\[5pt] \end{eqnarray}と表すこともできます。

解答

アイウ：221
エオカキク：24241

解答編つづき

問題

ここで、①と②は同じ直線を表しているので、 $t=\myBox{ケ}$, $s=\myBox{コ}a$ が成り立つ。

　したがって、 $\ell$ の方程式は $y=\myBox{サ}x+\myBox{シ}$ である。

解説

先ほど求めた2つの式は同じ式なので、係数を比較して、 $2t+2=2s-4a+2$ と $-t^2+1=-s^2+4a^2+1$ が得られます。1つ目の式から $s-t=2a$ が得られ、2つ目の式から $(s-t)(s+t)=4a^2$ が得られます。 $a\ne 0$ より $s+t=2a$ となり、 $s-t=2a$ と合わせると $t=0$, $s=2a$ であることがわかります。

以上より、 $\ell$ の方程式は、アイウを求めた式から $y=2x+1$ となることがわかます。

解答

ケコサシ：0221

解答編つづき

問題

(2) 二つの放物線 $C, D$ の交点の $x$ 座標は $\myBox{ス}$ である。

　$C$ と直線 $\ell$ 、および直線 $x=\mybox{ス}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると、 $S=\dfrac{a^{\myBox{セ} }}{\myBox{ソ} }$ である。

解説

2つの放物線の交点の $x$ 座標は
\begin{eqnarray} x^2+2x+1 &=& x^2-(4a-2)x+4a^2+1 \\[5pt] 4ax &=& 4a^2 \\[5pt] x &=& a \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

放物線 $C$ と直線 $\ell$ の接点の $x$ 座標は $0$ で、 $a\gt 0$ より、 $S$ は以下の図の面積です。

よって、
\begin{eqnarray} & & S \\[5pt] &=& \int_0^a \{(x^2+2x+1)-(2x+1)\} dx \\[5pt] &=& \int_0^a x^2 dx \\[5pt] &=& \dfrac{a^3}{3} \end{eqnarray}となります。

解答

スセソ：a33

解答編つづき

問題

(3) $a\geqq \dfrac{1}{2}$ とする。二つの放物線 $C, D$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の中で、 $0\leqq x\leqq 1$ を満たす部分の面積 $T$ は、 $a\gt\myBox{タ}$ のとき、 $a$ の値によらず\[ T=\dfrac{\myBox{チ} }{\myBox{ツ} } \]であり、 $\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq \mybox{タ}$ のとき\[ T=-\myBox{テ}a^3+\myBox{ト}a^2-\myBox{ナ}a+\dfrac{\myBox{ニ} }{\myBox{ヌ} } \]である。

解説

$C$ と $\ell$, $C$ と $D$, $D$ と $\ell$ の共有点の $x$ 座標は、それぞれ、 $0, a, 2a$ です。 $a\geqq \dfrac{1}{2}$ なので、 $1\leqq 2a$ は必ず成り立ちます。なので、 $0\leqq x\leqq 1$ の部分を考える場合、小さい順に並べたときに、 $0,1,a,2a$ となっているか、 $0, a, 1, 2a$ となっているかで図形の形が変わるため、わけて考える必要があります。

$0,1,a,2a$ の順になっているとき、つまり、 $a\gt 1$ の場合は、$0\leqq x \leqq 1$ の部分は次のようになります。

この面積は、計算式に $a$ が出てこず、次のように計算できます。
\begin{eqnarray} & & T \\[5pt] &=& \int_0^1 \{(x^2+2x+1)-(2x+1)\} dx \\[5pt] &=& \int_0^1 x^2 dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \end{eqnarray}

一方、 $0,a,1,2a$ の順になっているとき、つまり、 $\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq 1$ の場合は、$0\leqq x \leqq 1$ の部分は次のようになります。

この面積は、次のように計算できます。
\begin{eqnarray} & & T \\[5pt] &=& \int_0^a \{(x^2+2x+1)-(2x+1)\} dx \\[5pt] & & +\int_a^1 \{f(x)-(2x+1)\} dx \\[5pt] &=& \dfrac{a^3}{3} +\int_a^1 (x^2-4ax+4a^2) dx \\[5pt] &=& \dfrac{a^3}{3} +\left[ \dfrac{x^3}{3}-2ax^2+4a^2x \right]_a^1 \\[5pt] &=& \dfrac{a^3}{3} +\dfrac{1}{3}-2a+4a^2 \\[5pt] & & -\dfrac{a^3}{3}+2a\cdot a^2-4a^2\cdot a \\[5pt] &=& -2a^3+4a^2-2a+\dfrac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

タチツ：113

テトナニヌ：24213

解答編つづき

問題

(4) 次に、(2), (3) で定めた $S, T$ に対して $U=2T-3S$ とおく。 $a$ が $\dfrac{1}{2}\leqq a \leqq \mybox{タ}$ の範囲を動くとき、 $U$ は $a=\dfrac{\myBox{ネ} }{\myBox{ノ} }$ で最大値 $\dfrac{\myBox{ハ} }{\myBox{ヒフ} }$ をとる。

解説

$\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq 1$ の範囲で考えます。
\begin{eqnarray} & & U \\[5pt] &=& 2T-3S \\[5pt] &=& -4a^3+8a^2-4a+\dfrac{2}{3}-3\cdot\dfrac{a^3}{3} \\[5pt] &=& -5a^3+8a^2-4a+\dfrac{2}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}です。この式を $g(a)$ とおくと、\[ g'(a)=-15a^2+16a-4=-(5a-2)(3a-2) \]だから、増減表は以下のようになります。 \begin{array}{c|ccccc} a & \dfrac{1}{2} & \cdots & \dfrac{2}{3} & \cdots & 1 \\ \hline g'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline g(a) & & \nearrow & & \searrow & \end{array}増減表より、最大値は $a=\dfrac{2}{3}$ のときにとることがわかります。その値は \begin{eqnarray} & & -5\cdot\dfrac{8}{27}+8\cdot\dfrac{4}{9}-4\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{-40+96-54}{27} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{27} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。