センター試験 数学II・数学B 2019年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

(注:正規分布表は省略しています)

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

 全国規模の検定試験が毎年行われており、この試験の満点は200点で、点数が100点以上の人が合格となる。今年度行われた第1回目の試験と第2回目の試験について考える。

(1) 第1回目の試験については、受験者全体での平均点が95点、標準偏差が20点であることだけが公表されている。受験者全体での点数の分布を正規分布とみなして、この試験の合格率を求めよう。試験の点数を表す確率変数を $X$ としたとき、 $Z=\dfrac{X-\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}$ が標準正規分布に従うことを利用すると\[ P(X\geqq 100) = P\left(Z\geqq \myBox{オ}.\myBox{カキ}\right) \]により、合格率は $\myBox{クケ}$ %である。

解説

X が正規分布に従うとすると、平均を引いて標準偏差で割れば、標準正規分布に従うので、\[ Z=\dfrac{X-95}{20} \]とすればいいことがわかります。 $X\geqq 100$ を $Z$ を使って表すと
\begin{eqnarray}
\frac{X-95}{20} & \geqq & \frac{100-95}{20} \\[5pt] Z & \geqq & 0.25 \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、\[ P(X\geqq 100) = P(Z\geqq 0.25) \]が成り立ちます。正規分布表で、0.25の部分を見ると、0.0987であることがわかります。これは、0と0.25の間の部分に対応しているので
\begin{eqnarray}
& &
P(Z\geqq 0.25) \\[5pt] &=&
P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\lt 0.25) \\[5pt] &=&
0.5-0.0987 \\[5pt] &=&
0.4013 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これより、合格率は40%だと求められます。

解答

アイウエ:9520
オカキ:0.25
クケ:40

【広告】

解答編 つづき

 また、点数が受験者全体の上位10%の中に入る受験者の最低点はおよそ $\myBox{コ}$ である。 $\myBox{コ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: 116点
 1: 121点
 2: 126点

 3: 129点
 4: 134点
 5: 142点

解説

$P(X\geqq x)$ が0.1になるような $x$ を求めます。
\begin{eqnarray}
P(X\geqq x)
&=&
P \left(Z\geqq \frac{x-95}{20}\right) \\[5pt] &=&
P(Z\geqq 0) -P \left(0\leqq Z\lt \frac{x-95}{20}\right) \\[5pt] &=&
0.5 -P \left(0\leqq Z\lt \frac{x-95}{20}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できるので、 $P \left(0\leqq Z\lt \dfrac{x-95}{20}\right)$ が0.4となるときを考えればいいことがわかります。正規分布表を使うと、1.28のときの値が 0.3997であることから、 $x$ は次のように計算できます。
\begin{eqnarray}
\frac{x-95}{20} &=& 1.28 \\[5pt] x-95 &=& 25.6 \\[5pt] x &=& 120.6 \\[5pt] \end{eqnarray}選択肢の中では、選択肢1の121点が一番近いので、これが答えです。

解答

コ:1

解答編 つづき

(2) 第1回目の試験の受験者全体から無作為に19名を選んだとき、その中で点数が受験者全体の上位10%に入る人数を表す確率変数を $Y$ とする。

 $Y$ の分布を二項分布とみなすと、 $Y$ の期待値は $\myBox{サ}.\myBox{シ}$, 分散は $\myBox{ス}.\myBox{セソ}$ である。

 また、 $Y=1$ となる確率を $p_1$ 、 $Y=2$ となる確率を $p_2$ とする。このとき、 $\dfrac{p_1}{p_2}=\myBox{タ}$ である。 $\myBox{タ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $\dfrac{1}{9}$
 1: $\dfrac{1}{2}$

 2: $1$
 3: $2$
 4: $9$

解説

ある受験者が上位10%に入る確率は $\dfrac{1}{10}$ であり、それぞれの受験者が上位10%に入るかどうかは独立と考えられるので、
\begin{eqnarray}
E[Y] &=& 19\times\dfrac{1}{10}=\frac{19}{10}=1.9 \\[5pt] V[Y] &=& 19\times\dfrac{1}{10}\times\dfrac{9}{10}=\frac{171}{100}=1.71 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

$Y=1$ となるのは、19人中1人が上位10%、残りの18人はそれ以外となるときなので、こうなる確率は
\begin{eqnarray}
& &
{}_{19} \mathrm{ C }_1 \left(\frac{1}{10}\right)^1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{18} \\[5pt] &=&
\frac{19\cdot 9^{18}}{10^{19}} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $Y=2$ となるのは、2人だけが上位10%入るときなので、こうなる確率は
\begin{eqnarray}
& &
{}_{19} \mathrm{ C }_2 \left(\frac{1}{10}\right)^2 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{17} \\[5pt] &=&
19\cdot 9\cdot \frac{9^{17}}{10^{19}} \\[5pt] &=&
\frac{19\cdot 9^{18}}{10^{19}} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。どちらも同じ確率なので、 $\dfrac{p_1}{p_2}=1$ となります。選択肢2が正解です。

解答

サシ:19
スセソ:171
タ:2

【広告】

解答編 つづき

(3) 第2回目の試験の受験者全体の平均値と標準偏差はまだ公開されていない。第2回目の試験の受験者全体を母集団としたときの母平均 $m$ を推定するため、この受験者から無作為に抽出された96名の点数を調べたところ、標準平均の値は99点であった。

 母標準偏差の値を第1回目の試験と同じ20点であるとすると、標本平均の分布が正規分布が近似できることを用いて、 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間は\[ \myBox{チツ}\leqq m \leqq \myBox{テトナ} \]となり、この信頼区間の幅は $\myBox{ニ}$ である。ただし、 $\sqrt{6}=2.45$ とする。

 また、母標準偏差の値が15点であるとすると、 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間の幅は $\myBox{ヌ}$ となる。

解説

標本平均の分布は、平均が $99$ で、標準偏差が $\dfrac{20}{\sqrt{96}}=\dfrac{5}{\sqrt{6}}$ の正規分布で近似できると考えられます。

$Z$ が標準正規分布に従うとすると、 $P(|Z|\geqq z)=0.95$ となる $z$ は、正規分布表の0.475になる部分を見て、 $z=1.96$ であることがわかります。なので、 m に対する信頼度 95% の信頼区間は
\begin{eqnarray}
-1.96 & \leqq & \dfrac{m-99}{\frac{5}{\sqrt{6}}} & \leqq & 1.96 \\[5pt] -1.96\times \frac{5}{\sqrt{6}}+99 & \leqq & \quad m & \leqq & 1.96\times \frac{5}{\sqrt{6}}+99 \\[5pt] -\frac{9.8}{\sqrt{6}}+99 & \leqq & \quad m & \leqq & \frac{9.8}{\sqrt{6}}+99 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。問題文にあるように $\sqrt{6}=2.45$ を使って
\begin{eqnarray}
-\frac{9.8}{\sqrt{6}}+99 & \leqq & m & \leqq & \frac{9.8}{\sqrt{6}}+99 \\[5pt] -\frac{9.8}{2.45}+99 & \leqq & m & \leqq & \frac{9.8}{2.45}+99 \\[5pt] -4+99 & \leqq & m & \leqq & 4+99 \\[5pt] 95 & \leqq & m & \leqq & 103 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。信頼区間の幅は、 $103-95=8$ です。

また、母標準偏差が20点から15点に変われば、信頼区間も同じ比率で変わるので、信頼度95%の信頼区間の幅は $8\times\dfrac{15}{20}=6$ と求められます。

解答

チツ:95
テトナ:103
ニヌ:85