センター試験 数学II・数学B 2019年度 第3問 解説
【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)
問題編
問題
初項が $3$ 、公比が $4$ の等比数列の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とする。また、数列 $\{T_n\}$ は、初項が $-1$ であり、 $\{T_n\}$ の階差数列が数列 $\{S_n\}$ であるような数列とする。
(1) $S_2=\myBox{アイ}$, $T_2=\myBox{ウ}$ である。
(2) $\{S_n\}$ と $\{T_n\}$ の一般項は、それぞれ
\begin{eqnarray} S_n &=& \myBox{エ}^{\myBox{オ} }-\myBox{カ} \\[5pt] T_n &=& \frac{\myBox{キ}^\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }-n-\frac{\myBox{コ} }{\myBox{サ} } \\[5pt] \end{eqnarray}である。ただし、 $\myBox{オ}$ と $\myBox{ク}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。0: $n-1$
1: $n$2: $n+1$
3: $n+2$
4: $n+3$(3) 数列 $\{a_n\}$ は、初項が $-3$ であり、漸化式\[ na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすとする。 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。
そのために、 $b_n=\dfrac{a_n+2T_n}{n}$ により定められる数列 $\{b_n\}$ を考える。 $\{b_n\}$ の初項は $\myBox{シス}$ である。
$\{T_n\}$ は漸化式\[ T_{n+1}=\myBox{セ}T_n+\myBox{ソ}n+\myBox{タ} \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすから、 $\{b_n\}$ は漸化式\[ b_{n+1}=\myBox{チ}b_n+\myBox{ツ} \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすことがわかる。よって、 $\{b_n\}$ の一般項は\[ b_n=\myBox{テト}\cdot\mybox{チ}^{\myBox{ナ} }-\myBox{ニ} \]である。ただし、 $\myBox{ナ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。
0: $n-1$
1: $n$2: $n+1$
3: $n+2$
4: $n+3$したがって、 $\{ T_n \}$, $\{b_n\}$ の一般項から $\{a_n\}$ の一般項を求めると\[ a_n = \frac{ \myBox{ヌ} \left(\myBox{ネ}n+\myBox{ノ}\right)\mybox{チ}^{\mybox{ナ} }+\myBox{ハ} }{\myBox{ヒ} } \]である。
考え方
前半は標準的な問題ですが、後半は漸化式の部分がかなりやっかいです。セやチは、 $\{T_n\}$ の一般項から推測することも可能ですが、推測なしで式変形だけで計算していくにはヒントが無さすぎます。
$\{T_n\}$ の漸化式は、 $4^n$ を消す方針で考えてみましょう。 $\{b_n\}$ の漸化式は、 $\{a_n\}$ が満たす漸化式を $n(n+1)$ で割って考えてみましょう。
一番最後は、計算間違いに注意する必要はありますが、代入するだけです。そこにたどりつくまでがしんどいです。
【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)
解答編
問題
初項が $3$ 、公比が $4$ の等比数列の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とする。また、数列 $\{T_n\}$ は、初項が $-1$ であり、 $\{T_n\}$ の階差数列が数列 $\{S_n\}$ であるような数列とする。
(1) $S_2=\myBox{アイ}$, $T_2=\myBox{ウ}$ である。
解説
初項が $3$ 、公比が $4$ の等比数列の初項から第 n 項までの和が $S_n$ なので、
\begin{eqnarray}
S_1 &=& 3 \\[5pt]
S_2 &=& 3+3\cdot 4=15 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
また、 $T_1=-1$ です。 $\{T_n\}$ の階差数列が数列 $\{S_n\}$ である、ということは、\[ T_{n+1}-T_n=S_n \]ということなので、
\begin{eqnarray}
T_2
&=&
T_1+S_1 \\[5pt]
&=&
-1+3=2
\end{eqnarray}となります。
解答
アイ：15
ウ：2
解答編 つづき
問題
(2) $\{S_n\}$ と $\{T_n\}$ の一般項は、それぞれ
\begin{eqnarray} S_n &=& \myBox{エ}^{\myBox{オ} }-\myBox{カ} \\[5pt] T_n &=& \frac{\myBox{キ}^\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }-n-\frac{\myBox{コ} }{\myBox{サ} } \\[5pt] \end{eqnarray}である。ただし、 $\myBox{オ}$ と $\myBox{ク}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。0: $n-1$
1: $n$2: $n+1$
3: $n+2$
4: $n+3$
解説
初項が $3$ 、公比が $4$ の等比数列の初項から第 n 項までの和が $S_n$ なので、一般項は
\begin{eqnarray}
S_n
&=&
\frac{3(4^n-1)}{4-1} \\[5pt]
&=&
4^n-1
\end{eqnarray}となります。
また、 $T_{n+1}-T_n=S_n$ なので、 $n\geqq 2$ のときは
\begin{eqnarray}
T_n
&=&
T_1+\sum_{k=1}^{n-1} S_k \\[5pt]
&=&
-1+\sum_{k=1}^{n-1} (4^k-1) \\[5pt]
&=&
-1+\frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1}-(n-1) \\[5pt]
&=&
-1+\frac{4^n-4}{3}-n+1 \\[5pt]
&=&
\frac{4^n}{3}-n-\frac{4}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $n=1$ とすると $-1$ となるので、これが $\{T_n\}$ の一般項となります。
また、確認のために $n=2$ とすると、(1)と同じ結果が得られます。
解答
エオカ：411
キクケコサ：41343
解答編 つづき
問題
(3) 数列 $\{a_n\}$ は、初項が $-3$ であり、漸化式\[ na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすとする。 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。
そのために、 $b_n=\dfrac{a_n+2T_n}{n}$ により定められる数列 $\{b_n\}$ を考える。 $\{b_n\}$ の初項は $\myBox{シス}$ である。
解説
ゴツい式が見えていますが、とりあえず初項だけを考えましょう。 $n=1$ として
\begin{eqnarray}
b_1
&=&
\frac{a_1+2T_1}{1} \\[5pt]
&=&
-3+2\cdot (-1) \\[5pt]
&=&
-5
\end{eqnarray}となります。
解答
シス：-5
解答編 つづき
問題
$\{T_n\}$ は漸化式\[ T_{n+1}=\myBox{セ}T_n+\myBox{ソ}n+\myBox{タ} \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすから、 $\{b_n\}$ は漸化式\[ b_{n+1}=\myBox{チ}b_n+\myBox{ツ} \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすことがわかる。
解説
$\{T_n\}$ がどういう漸化式を満たすか、ですが、先ほど求めた一般項をもう一度見てみましょう。
\begin{eqnarray}
T_n=\frac{4^n}{3}-n-\frac{4}{3}
\end{eqnarray}$n$ を $n+1$ に置き換えた式も並べると
\begin{eqnarray}
T_{n+1}=\frac{4^{n+1} }{3}-(n+1)-\frac{4}{3}
\end{eqnarray}となります。これらと、問題文にある漸化式を見ると、 $n$ 乗の部分がなくなっています。なので、 $n$ 乗の部分を消す方針で考えてみましょう。
$T_n$ の式から
\begin{eqnarray}
\frac{4^n}{3}=T_n+n+\frac{4}{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。これを、 $T_{n+1}$ の式に代入すると
\begin{eqnarray}
T_{n+1}
&=&
\frac{4^{n+1} }{3}-(n+1)-\frac{4}{3} \\[5pt]
&=&
4\cdot \frac{4^n}{3}-n-1-\frac{4}{3} \\[5pt]
&=&
4\left(T_n+n+\frac{4}{3}\right)-n-\frac{7}{3} \\[5pt]
&=&
4T_n +4n +\frac{16}{3} -n -\frac{7}{3} \\[5pt]
&=&
4T_n +3n +3 \\[5pt]
\end{eqnarray}という漸化式が得られます。
これをもとに $\{b_n\}$ に関する漸化式を考えていきます。 $b_n$ の定義を使って変形すると
\begin{eqnarray}
b_{n+1}
&=&
\frac{a_{n+1}+2T_{n+1} }{n+1} \\[5pt]
&=&
\frac{a_{n+1}+2(4T_n +3n +3)}{n+1} \\[5pt]
&=&
\frac{a_{n+1} }{n+1}+\frac{8T_n}{n+1}+6 \\[5pt]
\end{eqnarray}ここで、 $\{a_n\}$ が満たす漸化式を使って変形しましょう。漸化式の両辺を $n(n+1)$ で割ると
\begin{eqnarray}
\frac{a_{n+1} }{n+1}=\frac{4a_n}{n}+\frac{8T_n}{n(n+1)}
\end{eqnarray}となるので、これを先ほどの式に代入してさらに変形すると
\begin{eqnarray}
b_{n+1}
&=&
\frac{a_{n+1} }{n+1}+\frac{8T_n}{n+1}+6 \\[5pt]
&=&
\frac{4a_n}{n}+\frac{8T_n}{n(n+1)}+\frac{8T_n}{n+1}+6 \\[5pt]
&=&
\frac{4a_n}{n}+8T_n\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{n+1}\right)+6 \\[5pt]
&=&
\frac{4a_n}{n}+8T_n\cdot\frac{1}{n}+6 \\[5pt]
&=&
\frac{4(a_n+2T_n)}{n}+6 \\[5pt]
&=&
4b_n+6 \\[5pt]
\end{eqnarray}という漸化式が得られます。
どちらの漸化式も、導出方法に関するヒントがないので難しいです。
解答
セソタ：433
チツ：46
解答編 つづき
問題
よって、 $\{b_n\}$ の一般項は\[ b_n=\myBox{テト}\cdot\mybox{チ}^{\myBox{ナ} }-\myBox{ニ} \]である。ただし、 $\myBox{ナ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。
0: $n-1$
1: $n$2: $n+1$
3: $n+2$
4: $n+3$
解説
$b_1=-5$ で、 $b_{n+1}=4b_n+6$ という漸化式が得られたので、これをもとに一般項を考えましょう。
$\alpha=4\alpha+6$ とすると、 $\alpha=-2$ となることを利用して、この漸化式を変形すると
\begin{eqnarray}
b_{n+1}+2 &=& 4(b_n+2)
\end{eqnarray}となります。数列 $\{b_n+2\}$ は、初項が $-3$ で公比が $4$ の等比数列なので
\begin{eqnarray}
b_n+2 &=& (-3)\cdot 4^{n-1} \\[5pt]
b_n &=& -3\cdot 4^{n-1}-2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
解答
テトナニ：-302
解答編 つづき
問題
したがって、 $\{ T_n \}$, $\{b_n\}$ の一般項から $\{a_n\}$ の一般項を求めると\[ a_n = \frac{ \myBox{ヌ} \left(\myBox{ネ}n+\myBox{ノ}\right)\mybox{チ}^{\mybox{ナ} }+\myBox{ハ} }{\myBox{ヒ} } \]である。
解説
あとは、一般項を代入するだけです。 $b_n$ の定義式を変更すると\[ a_n=nb_n-2T_n \]となるので、
\begin{eqnarray}
a_n
&=&
n(-3\cdot 4^{n-1}-2)-2\left(\frac{4^n}{3}-n-\frac{4}{3}\right) \\[5pt]
&=&
-3n\cdot 4^{n-1}-2n-\frac{2\cdot 4^n}{3}+2n+\frac{8}{3} \\[5pt]
&=&
-3n\cdot 4^{n-1}-\frac{2\cdot 4^n}{3}+\frac{8}{3} \\[5pt]
&=&
\frac{-9n\cdot 4^{n-1}-2\cdot 4^n+8}{3} \\[5pt]
&=&
\frac{-(9n+8)4^{n-1}+8}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
解答
ヌネノハヒ：-9883
