センター試験 数学I・数学A 2018年度 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) $144$ を素因数分解すると\[ 144=2^{\myBox{ア}} \times \myBox{イ}^{\myBox{ウ}} \]であり、 $144$ の正の約数の個数は $\myBox{エオ}$ 個である。

解説

$144$ は
\begin{eqnarray}
144
&=&
16\times 9
&=&
2^4\times 3^2
\end{eqnarray}となります。

よって正の約数の個数は、\[ (4+1)(2+1)=15 \]個となります。

解答

アイウ:432
エオ:15

解答編 つづき

問題

(2) 不定方程式\[ 144x-7y=1 \]の整数解 x, y の中で、 x の絶対値が最小になるのは\[ x=\myBox{カ}, \ y=\myBox{キク} \]であり、すべての整数解は、 k を整数として\[ x=\myBox{ケ} k +\mybox{カ}, \ y=\myBox{コサシ}k+\mybox{キク} \]と表される。

解説

\begin{eqnarray}
144x-7y &=& 1 \\[5pt] (7\times 20 +4)x-7y &=& 1 \\[5pt] 4x+7(20x-y) &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。 $z=20x-y$ とすると
\begin{eqnarray}
4x+7z &=& 1
\end{eqnarray}となり、$x=2$, $z=-1$ が特殊解であることがわかります。 $y=20x-z$ なので、このときの y は $41$ であることがわかります。

$144x-7y=1$ から $ 144\cdot 2 -7\cdot 41 =1 $ を引くと
\begin{eqnarray}
144(x-2) -7(y-41) &=& 0 \\[5pt] 144(x-2) &=& 7(y-41) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。右辺は $7$ の倍数です。 $7$ と $144$ は互いに素なので、 $x-2$ は $7$ の倍数となります。よって、整数 $k$ を用いて $x-2=7k$ 、つまり、\[ x=7k+2 \]と書けます。これを先ほどの式に代入すれば\[ 7(y-41)=144 \times 7k \]なので、\[ y=144k+41 \]となります。

$x=7k+2$ の中で、絶対値が一番小さくなるのは $k=0$ のときです。 $k=0$ のとき、 $x=2,\ y=41$ となります。すべての整数解は、これを用いて $x=7k+2, \ y=144k+41$ と書けます。

解答

カキク:241
ケコサシ:7144

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解答編 つづき

問題

(3) $144$ の倍数で、 $7$ で割ったら余りが $1$ となる自然数のうち、正の約数の個数が $18$ 個である最小のものは $144 \times \myBox{ス}$ であり、正の約数の個数が $30$ 個である最小のものは $144 \times \myBox{セソ}$ である。

解説

$144$ の倍数で、 $7$ で割ったら余りが $1$ となる自然数は、(2)で考えた内容を応用すればいいですね。 $144x=7y+1$ というのは、左辺を見ると $144$ の倍数ということであり、右辺を見ると $7$ で割ったら余りが $1$ になる、ということだからです。

このとき、 $x=7k+2$ になることがわかっているので、\[ 144 \times (7k+2) \]という形の数を考えればいいですね。

$144=2^4 \times 3^2$ で、正の約数が15個なので、あと3個増えるためには、例えば、 $2^5 \times 3^2$ となればいいですね。 $x=7\times 0+2$ であるし、これより小さい数はありえないので、正の約数が18個になる最小の数は、 $144\times 2$ であることがわかります。

正の約数を15個から30個に増やすためには、 $2$ や $3$ の指数を増やすよりも、素数を1つ掛ければいいですね。 $7k+2$ が素数になるときを考えると、 $k=3$ のときに $23$ になることがわかります。 $2$ や $3$ の指数を増やすと、これより大きい数になってしまうため、正の約数が30個になる最小の数は、 $144 \times 23$ であることがわかります。

解答

スセソ:223