センター試験 数学I・数学A 2018年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　x を実数とし\[ A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x) \]とおく。整数 n に対して\[ (x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\myBox{ア}n \]であり、したがって、 $X=x(5-x)$ とおくと\[ A=X(X+\myBox{イ})(X+\myBox{ウエ}) \]と表せる。

　$x=\dfrac{5+\sqrt{17} }{2}$ のとき、 $X=\myBox{オ}$ であり、 $A=2^{\myBox{カ} }$ である。

考え方

まず、6次式で驚いてしまいます。さらに、その後の誘導も少しわかりづらいです。 n を使った式を使って A をどのように変形するかは、 A をできるかぎり展開しないで考えてみると、思いつきやすいでしょう。

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【必答問題】

解答編

問題

　x を実数とし\[ A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x) \]とおく。整数 n に対して\[ (x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\myBox{ア}n \]であり、したがって、 $X=x(5-x)$ とおくと\[ A=X(X+\myBox{イ})(X+\myBox{ウエ}) \]と表せる。

解説

\begin{eqnarray} (x+n)(n+5-x) &=& x\times n +x(5-x)+n\times n+n(5-x) \\[5pt] &=& nx +x(5-x)+n^2 +5n-nx \\[5pt] &=& x(5-x)+n^2 +5n \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また、 $n=0,1,2$ とすると、 $(x+n)(n+5-x)$ は $x(5-x)$, $(x+1)(6-x)$, $(x+2)(7-x)$ となります。これらは、先ほどの式変形を使えば、それぞれ $x(5-x)$, $x(5-x)+6$, $x(5-x)+14$ となることがわかります。

以上から、 $X=x(5-x)$ とおくと
\begin{eqnarray} A=X(X+6)(X+14) \end{eqnarray}と変形することができます。

解答

ア：5
イ：6
ウエ：14

解答編 つづき

問題

　$x=\dfrac{5+\sqrt{17} }{2}$ のとき、 $X=\myBox{オ}$ であり、 $A=2^{\myBox{カ} }$ である。

解説

\begin{eqnarray} X &=& x(5-x) \\[5pt] &=& \dfrac{5+\sqrt{17} }{2}\times \left(5-\dfrac{5+\sqrt{17} }{2}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{5+\sqrt{17} }{2}\times \dfrac{5-\sqrt{17} }{2} \\[5pt] &=& \dfrac{25-17}{4} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

よって、
\begin{eqnarray} A &=& X(X+6)(X+14) \\[5pt] &=& 2\times 8 \times 16 \\[5pt] &=& 2\times 2^3 \times 2^4 \\[5pt] &=& 2^8 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

オ：2
カ：8