センター試験 数学I・数学A 2018年度 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$四角形 ABCD において、3辺の長さをそれぞれ $\mathrm{ AB }=5$, $\mathrm{ BC }=9$, $\mathrm{ CD }=3$, 対角線 AC の長さを $\mathrm{ AC }=6$ とする。このとき\[ \cos \angle \mathrm{ ABC }=\frac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}, \ \sin \angle \mathrm{ ABC } = \frac{\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}}}{\myBox{オ}} \]である。

 ここで、四角形 ABCD は台形であるとする。

 次の $\mybox{カ}$ には下の 0 ~ 2 から、 $\mybox{キ}$ には 3, 4 から当てはまるものを一つずつ選べ。

 CD $\myBox{カ}$ AB $\cdot \sin \angle \mathrm{ ABC }$ であるから $\myBox{キ}$ である。

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

 3: 辺 AD と辺 BC が平行
 4: 辺 AB と辺 CD が平行

 したがって\[ \mathrm{ BD }=\myBox{ク} \sqrt{\myBox{ケコ}} \]である。

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考え方

前半はいいとして、後半はわかりづらいです。キは、カの不等式を使うと、どちらかの場合で矛盾が生じます。そのことから答えを絞ることになります。なかなか気づきにくいでしょう。

最後も、なかなか難しいです。正確に図をかけば、今までの計算を応用して求めることがわかりますが、難しいです。難しく考えて方針を間違うと、深みにはまってしまいます。