センター試験 数学I・数学A 2018年度 第2問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$ある陸上競技大会に出場した選手の身長(単位はcm)と体重(単位はkg)のデータが得られた。男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループに分けると、それぞれのグループの選手数は、男子短距離が328人、男子長距離が271人、女子短距離が319人、女子長距離が263人である。

(1) 次ページの図1および図2は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループにおける、身長のヒストグラムおよび箱ひげ図である。

 次の $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 6 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 図1および図2から読み取れる内容として正しいものは、 $\myBox{サ}$, $\myBox{シ}$ である。

 0: 四つのグループのうちで範囲が最も大きいのは、女子短距離グループである。

 1: 四つのグループのすべてにおいて、四分位範囲は12未満である。

 2: 男子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に中央値が入っている。

 3: 女子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に第1四分位数が入っている。

 4: すべての選手の中で最も身長の高い選手は、男子長距離グループの中にいる。

 5: すべての選手の中で最も身長の低い選手は、女子長距離グループの中にいる。

 6: 男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第3四分位数は、ともに180以上182未満である。

(2) 身長を H, 体重を W とし、 X を $X=\left(\dfrac{H}{100}\right)^2$ で、 Z を $Z=\dfrac{W}{X}$ で定義する。次ページの図3は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループにおける XW のデータの散布図である。ただし、原点を通り、傾きが 15, 20, 25, 30 である四つの直線 $l_1$, $l_2$, $l_3$, $l_4$ も補助的に描いている。また、次ページの図4の (a), (b), (c), (d) で示す Z の四つの箱ひげ図は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループのいずれかの箱ひげ図に対応してる。

 次の $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 図3および図4から読み取れる内容として正しいものは、 $\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$ である。

 0: 四つのグループのすべてにおいて、 XW には負の相関がある。

 1: 四つのグループのうちで Z の中央値が市場の沖いのは、男子長距離グループである。

 2: 四つのグループのうちで Z の範囲が最小なのは、男子長距離グループである。

 3: 四つのグループのうちで Z の四分位範囲が最小なのは、男子短距離グループである。

 4: 女子長距離グループのすべての Z の値は25より小さい。

 5: 男子長距離グループの Z の箱ひげ図は(c)である。

(3) n を自然数とする。実数値のデータ $x_1, x_2,\cdots,x_n$ および $w_1, w_2, \cdots, w_n$ に対して、それぞれの平均値を\[ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}, \ \bar{w}=\frac{w_1+w_2+\cdots+w_n}{n} \]とおく。等式 $(x_1+x_2+\cdots+x_n)\bar{w}=n\bar{x}\bar{w}$ などに注意すると、偏差の積の和は
\begin{eqnarray}
& & (x_1-\bar{x})(w_1-\bar{w})+(x_2-\bar{x})(w_2-\bar{w})+\cdots+(x_n-\bar{x})(w_n-\bar{w}) \\[5pt] & & =x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n-\myBox{ソ}
\end{eqnarray}
となることがわかる。 $\mybox{ソ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $\bar{x}\bar{w}$
 1: $(\bar{x}\bar{w})^2$
 2: $n \bar{x}\bar{w}$
 3: $n^2 \bar{x}\bar{w}$

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考え方

(1)は、それぞれの用語が何を表しているかが分かれば難しくはないでしょう。

(2)は、散布図にひかれた線と Z の箱ひげ図とがどう対応しているかを考える必要があります。直線の傾きと箱ひげ図の目盛りを見れば、想像はつくと思いますが。はじめに、箱ひげ図がどのグループを指しているかを特定したほうが早く考えられるかもしれません。

(3)は、計算問題です。足す順番を変えて計算します。ヒントも出ているので、足す順番の入れ替え方を思いつくかもしれませんが、抽象的な計算に慣れていないと少し難しいかもしれません。