センター試験 数学I・数学A 2018年度 第1問 [2] 解説
【必答問題】
問題編
問題
全体集合 U を $U=\{ x |\ x$ は20以下の自然数 $\}$ とし、次の部分集合 A, B, C を考える。
$A=\{ x |\ x\in U$ かつ x は20の約数 $\}$
$B=\{ x |\ x\in U$ かつ x は3の倍数 $\}$
$C=\{ x |\ x\in U$ かつ x は偶数 $\}$集合 A の補集合を $\bar{A}$ と表し、空集合を $\varnothing$ と表す。
次の $\mybox{キ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a) $A\subset C$
(b) $A\cap B=\varnothing$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{キ}$ である。0: (a)正 (b)正
1: (a)正 (b)誤
2: (a)誤 (b)正
3: (a)誤 (b)誤次の $\mybox{ク}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。
集合の関係
(c) $(A \cup C) \cap B = \{ 6,12,18 \}$
(d) $(\bar{A} \cap C) \cup B = \bar{A} \cap (B \cup C)$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{ク}$ である。0: (c)正 (d)正
1: (c)正 (d)誤
2: (c)誤 (d)正
3: (c)誤 (d)誤(2) 実数 x に関する次の条件 p, q, r, s を考える。
$p: |x-2| \gt 2$
$q: x\lt 0$
$r: x\gt 4$
$s: \sqrt{x^2}\gt 4$次の $\mybox{ケ},\mybox{コ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
q または r であることは、 p であるための $\myBox{ケ}$ 。また、 s は r であるための $\myBox{コ}$ 。
0: 必要条件であるが、十分条件ではない
1: 十分条件であるが、必要条件ではない
2: 必要十分条件である
3: 必要条件でも十分条件でもない
考え方
(1)は、最大でも20個しかないので、具体的に書き出して考えたほうがいいかもしれません。(1)の最後は少し難しいですが、書き出すか、ベン図をかいて考えましょう。
(2)は、符号に注意して考えましょう。負の場合を考え忘れないように気をつけましょう。
【必答問題】
解答編
問題
全体集合 U を $U=\{ x |\ x$ は20以下の自然数 $\}$ とし、次の部分集合 A, B, C を考える。
$A=\{ x |\ x\in U$ かつ x は20の約数 $\}$
$B=\{ x |\ x\in U$ かつ x は3の倍数 $\}$
$C=\{ x |\ x\in U$ かつ x は偶数 $\}$集合 A の補集合を $\bar{A}$ と表し、空集合を $\varnothing$ と表す。
次の $\mybox{キ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a) $A\subset C$
(b) $A\cap B=\varnothing$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{キ}$ である。0: (a)正 (b)正
1: (a)正 (b)誤
2: (a)誤 (b)正
3: (a)誤 (b)誤
解説
まずは、 $A\subset C$ について考えてみましょう。これは A の要素がすべて C の要素であることを表しています。しかし、 5 は、20の約数なのに偶数ではありません。よって、 5 は A に属しているのに C に属していないため、 $A\subset C$ とはいえません。誤りです。
次に、 $A\cap B=\varnothing$ について考えてみましょう。20の約数のうち、3の倍数であるものはありません。そのため、共通部分はないので、 $A\cap B=\varnothing$ は正しいことがわかります。
解答
キ：2
解答編 つづき
問題
次の $\mybox{ク}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。
集合の関係
(c) $(A \cup C) \cap B = \{ 6,12,18 \}$
(d) $(\bar{A} \cap C) \cup B = \bar{A} \cap (B \cup C)$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{ク}$ である。0: (c)正 (d)正
1: (c)正 (d)誤
2: (c)誤 (d)正
3: (c)誤 (d)誤
解説
(c) について考えます。
$A \cup C$ は、20の約数と偶数を合わせたものです。これらのうち、3の倍数であるものを考えればいいですね。20の約数の中に3の倍数はありません。また、偶数の中で3の倍数となるのは6の倍数です。20以下の自然数で6の倍数のものは、 $\{ 6,12,18 \}$ なので、(c) は正しいことがわかります。
次に、(d) について考えましょう。
左辺のカッコ内にある $\bar{A} \cap C$ は、「偶数のうち、20の約数でないもの」の集合です。具体的に書き出すと、\[ 6,8,12,14,16,18 \]となります。これと3の倍数を合わせたものが、左辺の集合です。具体的に書き出せば、\[
3,6,8,9,12,14,15,16,18 \]となります。
右辺のカッコ内にある $B\cup C$ は「偶数または3の倍数」の集合です。このうち、20の倍数でないものが、右辺の集合です。順番に書き出せば\[ 3,6,8,9,12,14,15,16,18 \]となります。
よって、一致するので、(d)も正しいことがわかります。
もしくは、次のようにベン図をかいて考えてもいいでしょう。
通常、3つの集合のベン図は上のように書きますが、今の場合、 $A\cap B=\varnothing$ なので、次のようになります。
A と B が重なっていないことに注意しましょう。
この図で、 $\bar{A}\cap C$ は、次の部分となります。
これと B との和集合が(d)の左辺ですね。
また、右辺は、 $B\cup C$ のうち、 $A$ 以外の部分なので、やはり、上の色のついた部分と同じであることがわかります。このことからも、(d)が正しいことがわかります。
解答
ク：0
解答編 つづき
問題
(2) 実数 x に関する次の条件 p, q, r, s を考える。
$p: |x-2| \gt 2$
$q: x\lt 0$
$r: x\gt 4$
$s: \sqrt{x^2}\gt 4$次の $\mybox{ケ},\mybox{コ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
q または r であることは、 p であるための $\myBox{ケ}$ 。また、 s は r であるための $\myBox{コ}$ 。
0: 必要条件であるが、十分条件ではない
1: 十分条件であるが、必要条件ではない
2: 必要十分条件である
3: 必要条件でも十分条件でもない
解説
$p:|x-2|\gt 2$ は、「 $x-2\gt 2$ または $x-2\lt -2$ 」と同値です。なので、「 $x\gt 4$ または $x\lt 0$ 」と同値です。よって、 p と「q または r」は同値であり、ケに入るのは「必要十分条件である」だとわかります。
次に、 $r: x\gt 4$ と $s: \sqrt{x^2}\gt 4$ について考えましょう。
$x\gt 4$ のとき、両辺は正なので、 $x^2\gt 4^2$ が成り立ち、 $\sqrt{x^2}\gt 4$ が成り立ちます。一方、 $x=-5$ とすると、\[ \sqrt{(-5)^2}=5\gt4 \]ですが、 $x\gt 4$ は成り立ちません。よって、 $r\implies s$ は成り立ちますが、逆は成り立ちません。なので、 s は r であるための、必要条件であるが、十分条件ではないことがわかります。
解答
ケ：2
コ：0