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センター試験 数学I・数学A 2018年度 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 全体集合 U を $U=\{ x |\ x$ は20以下の自然数 $\}$ とし、次の部分集合 A, B, C を考える。

 $A=\{ x |\ x\in U$ かつ x は20の約数 $\}$
 $B=\{ x |\ x\in U$ かつ x は3の倍数 $\}$
 $C=\{ x |\ x\in U$ かつ x は偶数 $\}$

集合 A の補集合を $\bar{A}$ と表し、空集合を $\varnothing$ と表す。

 次の $\mybox{キ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 集合の関係
 (a) $A\subset C$
 (b) $A\cap B=\varnothing$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{キ}$ である。

 0: (a)正 (b)正
 1: (a)正 (b)誤
 2: (a)誤 (b)正
 3: (a)誤 (b)誤

 次の $\mybox{ク}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 集合の関係
 (c) $(A \cup C) \cap B = \{ 6,12,18 \}$
 (d) $(\bar{A} \cap C) \cup B = \bar{A} \cap (B \cup C)$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{ク}$ である。

 0: (c)正 (d)正
 1: (c)正 (d)誤
 2: (c)誤 (d)正
 3: (c)誤 (d)誤

(2) 実数 x に関する次の条件 p, q, r, s を考える。

 $p: |x-2| \gt 2$
 $q: x\lt 0$
 $r: x\gt 4$
 $s: \sqrt{x^2}\gt 4$

 次の $\mybox{ケ},\mybox{コ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 q または r であることは、 p であるための $\myBox{ケ}$ 。また、 sr であるための $\myBox{コ}$ 。

 0: 必要条件であるが、十分条件ではない
 1: 十分条件であるが、必要条件ではない
 2: 必要十分条件である
 3: 必要条件でも十分条件でもない

考え方

(1)は、最大でも20個しかないので、具体的に書き出して考えたほうがいいかもしれません。(1)の最後は少し難しいですが、書き出すか、ベン図をかいて考えましょう。

(2)は、符号に注意して考えましょう。負の場合を考え忘れないように気をつけましょう。


【必答問題】

解答編

問題

 全体集合 U を $U=\{ x |\ x$ は20以下の自然数 $\}$ とし、次の部分集合 A, B, C を考える。

 $A=\{ x |\ x\in U$ かつ x は20の約数 $\}$
 $B=\{ x |\ x\in U$ かつ x は3の倍数 $\}$
 $C=\{ x |\ x\in U$ かつ x は偶数 $\}$

集合 A の補集合を $\bar{A}$ と表し、空集合を $\varnothing$ と表す。

 次の $\mybox{キ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 集合の関係
 (a) $A\subset C$
 (b) $A\cap B=\varnothing$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{キ}$ である。

 0: (a)正 (b)正
 1: (a)正 (b)誤
 2: (a)誤 (b)正
 3: (a)誤 (b)誤

解説

まずは、 $A\subset C$ について考えてみましょう。これは A の要素がすべて C の要素であることを表しています。しかし、 5 は、20の約数なのに偶数ではありません。よって、 5 は A に属しているのに C に属していないため、 $A\subset C$ とはいえません。誤りです。

次に、 $A\cap B=\varnothing$ について考えてみましょう。20の約数のうち、3の倍数であるものはありません。そのため、共通部分はないので、 $A\cap B=\varnothing$ は正しいことがわかります。

解答

キ:2

解答編 つづき

問題

 次の $\mybox{ク}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 集合の関係
 (c) $(A \cup C) \cap B = \{ 6,12,18 \}$
 (d) $(\bar{A} \cap C) \cup B = \bar{A} \cap (B \cup C)$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{ク}$ である。

 0: (c)正 (d)正
 1: (c)正 (d)誤
 2: (c)誤 (d)正
 3: (c)誤 (d)誤

解説

(c) について考えます。

$A \cup C$ は、20の約数と偶数を合わせたものです。これらのうち、3の倍数であるものを考えればいいですね。20の約数の中に3の倍数はありません。また、偶数の中で3の倍数となるのは6の倍数です。20以下の自然数で6の倍数のものは、 $\{ 6,12,18 \}$ なので、(c) は正しいことがわかります。

次に、(d) について考えましょう。

左辺のカッコ内にある $\bar{A} \cap C$ は、「偶数のうち、20の約数でないもの」の集合です。具体的に書き出すと、\[ 6,8,12,14,16,18 \]となります。これと3の倍数を合わせたものが、左辺の集合です。具体的に書き出せば、\[
3,6,8,9,12,14,15,16,18 \]となります。

右辺のカッコ内にある $B\cup C$ は「偶数または3の倍数」の集合です。このうち、20の倍数でないものが、右辺の集合です。順番に書き出せば\[ 3,6,8,9,12,14,15,16,18 \]となります。

よって、一致するので、(d)も正しいことがわかります。

もしくは、次のようにベン図をかいて考えてもいいでしょう。

通常、3つの集合のベン図は上のように書きますが、今の場合、 $A\cap B=\varnothing$ なので、次のようになります。

AB が重なっていないことに注意しましょう。

この図で、 $\bar{A}\cap C$ は、次の部分となります。

これと B との和集合が(d)の左辺ですね。

また、右辺は、 $B\cup C$ のうち、 $A$ 以外の部分なので、やはり、上の色のついた部分と同じであることがわかります。このことからも、(d)が正しいことがわかります。

解答

ク:0

解答編 つづき

問題

(2) 実数 x に関する次の条件 p, q, r, s を考える。

 $p: |x-2| \gt 2$
 $q: x\lt 0$
 $r: x\gt 4$
 $s: \sqrt{x^2}\gt 4$

 次の $\mybox{ケ},\mybox{コ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 q または r であることは、 p であるための $\myBox{ケ}$ 。また、 sr であるための $\myBox{コ}$ 。

 0: 必要条件であるが、十分条件ではない
 1: 十分条件であるが、必要条件ではない
 2: 必要十分条件である
 3: 必要条件でも十分条件でもない

解説

$p:|x-2|\gt 2$ は、「 $x-2\gt 2$ または $x-2\lt -2$ 」と同値です。なので、「 $x\gt 4$ または $x\lt 0$ 」と同値です。よって、 p と「q または r」は同値であり、ケに入るのは「必要十分条件である」だとわかります。

次に、 $r: x\gt 4$ と $s: \sqrt{x^2}\gt 4$ について考えましょう。

$x\gt 4$ のとき、両辺は正なので、 $x^2\gt 4^2$ が成り立ち、 $\sqrt{x^2}\gt 4$ が成り立ちます。一方、 $x=-5$ とすると、\[ \sqrt{(-5)^2}=5\gt4 \]ですが、 $x\gt 4$ は成り立ちません。よって、 $r\implies s$ は成り立ちますが、逆は成り立ちません。なので、 sr であるための、必要条件であるが、十分条件ではないことがわかります。

解答

ケ:2
コ:0

参考

【標準】絶対値を含んだ一次不等式(絶対値の性質)

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