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センター試験 数学I・数学A 2018年度 第3問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 一般に、事象 A の確率を $P(A)$ で表す。また、事象 A の余事象を $\bar{A}$ と表し、二つの事象 A, B の積事象を $A\cap B$ と表す。

 大小2個のさいころを同時に投げる試行において
 A を「大きいさいころについて、4の目が出る」という事象
 B を「2個のさいころの出た目の和が7である」という事象
 C を「2個のさいころの出た目の和が9である」という事象
とする。

(1) 事象 A, B, C の確率は、それぞれ\[ P(A)=\frac{\myBox{ア} }{\myBox{イ} }, \ P(B)=\frac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }, \ P(C)=\frac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} } \]である。

(2) 事象 C が起こったときの事象 A が起こる条件付き確率は $\dfrac{\myBox{キ} }{\myBox{ク} }$ であり、事象 A が起こったときの事象 C が起こる条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ケ} }{\myBox{コ} }$ である。

(3) 次の $\mybox{サ}, \mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 2 のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 $P(A\cap B) \myBox{サ}P(A)P(B)$
 $P(A\cap C) \myBox{シ}P(A)P(C)$

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

(4) 大小2個のさいころを同時に投げる試行を2回繰り返す。1回目に事象 $A\cap B$ が起こり、2回目に事象 $\bar{A}\cap C$ が起こる確率は、 $\dfrac{\myBox{ス} }{\myBox{セソタ} }$ である。三つの事象 A, B, C がいずれもちょうど1回ずつ起こる確率は $\dfrac{\myBox{チ} }{\myBox{ツテ} }$ である。

考え方

(2)は、最近よく出る条件付き確率です。 $A\cap C$ の確率を求めてから考えましょう。

(4)で急に難しくなります。 $B\cap C$ が起こることはない、ということから、パターンが絞れることに気づきましょう。また、2倍することを忘れないようにしましょう。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 一般に、事象 A の確率を $P(A)$ で表す。また、事象 A の余事象を $\bar{A}$ と表し、二つの事象 A, B の積事象を $A\cap B$ と表す。

 大小2個のさいころを同時に投げる試行において
 A を「大きいさいころについて、4の目が出る」という事象
 B を「2個のさいころの出た目の和が7である」という事象
 C を「2個のさいころの出た目の和が9である」という事象
とする。

(1) 事象 A, B, C の確率は、それぞれ\[ P(A)=\frac{\myBox{ア} }{\myBox{イ} }, \ P(B)=\frac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }, \ P(C)=\frac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} } \]である。

解説

大きいさいころの目の出方は6通りなので、大きいさいころの目が4である確率は、 $\dfrac{1}{6}$ となります。

2このさいころの目の和が7となる(大、小)の組合せは、\[ (1,6), \ (2,5), \ (3,4), \ (4,3), \ (5,2), \ (6,1) \]の6通りです。すべての目の出方は36通りなので、\[ P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \]となります。

2このさいころの目の和が9となる(大、小)の組合せは、\[ (3,6), \ (4,5), \ (5,4), \ (6,3) \]の4通りです。なので、\[ P(C)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9} \]となります。

解答

アイ:16
ウエ:16
オカ:19

解答編 つづき

問題

(2) 事象 C が起こったときの事象 A が起こる条件付き確率は $\dfrac{\myBox{キ} }{\myBox{ク} }$ であり、事象 A が起こったときの事象 C が起こる条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ケ} }{\myBox{コ} }$ である。

解説

条件付き確率を考えるために、まず A かつ C が起こる確率を考えましょう。これは、A より、大きいさいころの目が $4$ で、 C より、小さいさいころの目が $5$ である、という事象が起こる確率なので、 $\dfrac{1}{36}$ であることがわかります。

事象 C が起こったときの事象 A が起こる条件付き確率は、先ほど求めた確率を、 C が起こる確率で割ればいいので\[ \frac{1}{36}\div\frac{1}{9} =\frac{1}{4}\]となります。

事象 A が起こったときの事象 C が起こる条件付き確率は、先ほど求めた確率を、 A が起こる確率で割ればいいので\[ \frac{1}{36}\div\frac{1}{6} =\frac{1}{6}\]となります。

解答

キク:14
ケコ:16

解答編 つづき

問題

(3) 次の $\mybox{サ}, \mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 2 のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 $P(A\cap B) \myBox{サ}P(A)P(B)$
 $P(A\cap C) \myBox{シ}P(A)P(C)$

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

解説

$A\cup B$ が起こるのは、大きいさいころの目が $4$ で、小さいさいころの目が $3$ のときだけなので、\[ P(A\cap B)=\frac{1}{36} \]です。(1)より、これは $P(A)P(B)$ と等しくなります。

$A\cup C$ が起こるのは、大きいさいころの目が $4$ で、小さいさいころの目が $5$ のときだけなので、\[ P(A\cap C)=\frac{1}{36} \]です。(1)より、これは $P(A)P(C)$ より大きくなります。

解答

サシ:12

解答編 つづき

問題

(4) 大小2個のさいころを同時に投げる試行を2回繰り返す。1回目に事象 $A\cap B$ が起こり、2回目に事象 $\bar{A}\cap C$ が起こる確率は、 $\dfrac{\myBox{ス} }{\myBox{セソタ} }$ である。三つの事象 A, B, C がいずれもちょうど1回ずつ起こる確率は $\dfrac{\myBox{チ} }{\myBox{ツテ} }$ である。

解説

1回目に $A\cap B$ が起こる確率は、(3)で考えた通り、 $\dfrac{1}{36}$ です。また、2回目に $\bar{A}\cap C$ が起こるのは、(大、小)の組合せが、\[ (3,6), \ (5,4), \ (6,3) \]の3通りなので、 $\dfrac{3}{36}$ です。なので、1回目に事象 $A\cap B$ が起こり、2回目に事象 $\bar{A}\cap C$ が起こる確率は、\[ \frac{1}{36} \times \frac{3}{36}=\frac{1}{432} \]となります。

2回試行を繰り返して、 A, B, C が1回ずつ起こる場合は、

  • 1回目に $A\cap B$ 、2回目に $\bar{A}\cap C$
  • 1回目に $A\cap C$ 、2回目に $\bar{A}\cap B$
  • 1回目に $\bar{A}\cap C$ 、2回目に $A\cap B$
  • 1回目に $\bar{A}\cap B$ 、2回目に $A\cap C$
のどれかです。 B, C が同時に起こることはないので、これですべてです。

1つ目と3つ目は、先ほど求めた通り、どちらも確率は $\dfrac{1}{432}$ となります。2つ目を考えましょう。

$\bar{A}\cap B$ が起こるのは、(大、小)の組合せが、\[ (1,6), \ (2,5), \ (3,4), \ (5,2), \ (6,1) \]の5通りなので、 $\dfrac{5}{36}$ です。よって、1回目に $A\cap C$ 、2回目に $\bar{A}\cap B$ となる確率は
\begin{eqnarray} \frac{1}{36} \times \frac{5}{36}=\frac{5}{36^2} \end{eqnarray}となります。

以上から、求める確率は
\begin{eqnarray} \frac{3+5+3+5}{36^2}=\frac{16}{36^2}=\frac{1}{9^2}=\frac{1}{81} \end{eqnarray}となります。

解答

チツテ:181

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