センター試験数学I・数学A 2018年度第1問 [3] 解説

🕒 2018/01/14 🔄 2023/05/01

【必答問題】

問題編

問題

　a を正の実数とし、\[ f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21 \]とする。2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の x 座標を p とおくと\[
p=\myBox{サ}+\frac{\myBox{シ} }{a} \]である。

　$0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(4)$ となるような a の範囲は\[ 0\lt a \leqq \myBox{ス} \]である。

　また、 $0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるような a の範囲は\[ \myBox{セ}\leqq a \]である。

　したがって、 $0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $1$ であるのは\[ a=\frac{\myBox{ソ} }{\myBox{タ} } \ または \ a=\frac{\myBox{チ}+\sqrt{\myBox{ツテ} }}{\myBox{ト} } \]のときである。

考え方

頂点を求めるときに少し計算が面倒ですが、前半部分だけなら頂点の y 座標は計算しなくても構いません。

係数に文字が入っていて、文字に応じて最小値をとる場所が変わる、という問題です。よく出題される内容です。文字に応じて状況がどう変わるか、最小値をとる場所がどう変わるかを考えながら解いていきましょう。

【必答問題】

解答編

問題

　a を正の実数とし、\[ f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21 \]とする。2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の x 座標を p とおくと\[
p=\myBox{サ}+\frac{\myBox{シ} }{a} \]である。

解説

頂点の座標を求めるためには、平方完成をすればいいですね。
\begin{eqnarray} f(x) &=& ax^2-2(a+3)x-3a+21 \\[5pt] &=& a\left( x^2-\frac{2(a+3)}{a}x \right) -3a+21 \\[5pt] &=& a\left( x-\frac{a+3}{a}\right)^2 -a\left(\frac{a+3}{a}\right)^2-3a+21 \\[5pt] &=& a\left( x-\frac{a+3}{a}\right)^2 -\frac{(a+3)^2}{a}-3a+21 \\[5pt] &=& a\left( x-\frac{a+3}{a}\right)^2 +\frac{-(a+3)^2-3a^2+21a}{a} \\[5pt] &=& a\left( x-\frac{a+3}{a}\right)^2 +\frac{-4a^2+15a-9}{a} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。このことから、頂点の x 座標が \begin{eqnarray} p=\frac{a+3}{a}=1+\frac{3}{a} \end{eqnarray}であることがわかります。

解答

サシ：13

解答編つづき

問題

　$0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(4)$ となるような a の範囲は\[ 0\lt a \leqq \myBox{ス} \]である。

解説

グラフは下に凸の放物線なので、区間の右端が最小となるのは、放物線の軸が、直線 $x=4$ かその右にあるときです。つまり、頂点の x 座標が $4$ 以上となるときなので、
\begin{eqnarray} & 1+\frac{3}{a} \geqq 4 \\[5pt] & \frac{3}{a} \geqq 3 \\[5pt] & \frac{1}{a} \geqq 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $a$ は正なので、 $0\lt a \leqq 1$ となります。

解答

ス：1

解答編つづき

問題

　また、 $0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるような a の範囲は\[ \myBox{セ}\leqq a \]である。

解説

グラフは下に凸の放物線なので、頂点が最小となるには、放物線の軸が、直線 $x=0$ か $x=4$ の上にあるときか、その間にあるときです。こうなる範囲を求めると
\begin{eqnarray} & 0 \leqq 1+\frac{3}{a} \leqq 4 \\[5pt] & -1 \leqq \frac{3}{a} \leqq 3 \\[5pt] & -\frac{1}{3} \leqq \frac{1}{a} \leqq 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $a$ は正なので、左に不等式はつねに成り立ちます。右の不等式から、 $a \geqq 1$ が得られます。

解答

セ：1

解答編つづき

問題

　したがって、 $0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $1$ であるのは\[ a=\frac{\myBox{ソ} }{\myBox{タ} } \ または \ a=\frac{\myBox{チ}+\sqrt{\myBox{ツテ} }}{\myBox{ト} } \]のときである。

解説

a は正だから、頂点の x 座標はつねに正になります。なので、区間の左端で最小になることはありません。よって、最小値が $1$ になるときは、最小値をとる場所が区間の右端の場合と頂点の場合を考えればいいことがわかります。

区間の右端で最小となる場合、つまり、 $f(4)=1$ の場合
\begin{eqnarray} f(4) &=& 1 \\[5pt] 16a-2(a+3)\times 4-3a+21 &=& 1 \\[5pt] 16a-8a-24-3a+21 &=& 1 \\[5pt] 5a &=& 4 \\[5pt] a &=& \frac{4}{5} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これは、スの条件を満たしているので、このとき最小値が $1$ になることがわかります。

次に、頂点で最小となる場合を考えます。頂点の y 座標は、はじめに計算したように$\dfrac{-4a^2+15a-9}{a}$ だから
\begin{eqnarray} \dfrac{-4a^2+15a-9}{a} &=& 1 \\[5pt] -4a^2+15a-9 &=& a \\[5pt] -4a^2+14a-9 &=& 0 \\[5pt] 4a^2-14a+9 &=& 0 \\[5pt] a &=& \frac{14\pm\sqrt{14^2-4\cdot 4\cdot 9} }{8} \\[5pt] &=& \frac{7\pm\sqrt{7^2-4\cdot 9} }{4} \\[5pt] &=& \frac{7\pm\sqrt{13} }{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\sqrt{13}=3.\cdots$ なので、セの条件を満たすものは、\[ a=\frac{7+\sqrt{13} }{4} \]だけだとわかります。

よって、この2つが求める解となります。