センター試験 数学I・数学A 2018年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$x を実数とし\[ A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x) \]とおく。整数 n に対して\[ (x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\myBox{ア}n \]であり、したがって、 $X=x(5-x)$ とおくと\[ A=X(X+\myBox{イ})(X+\myBox{ウエ}) \]と表せる。

解説

\begin{eqnarray}
(x+n)(n+5-x)
&=&
x\times n +x(5-x)+n\times n+n(5-x) \\[5pt] &=&
nx +x(5-x)+n^2 +5n-nx \\[5pt] &=&
x(5-x)+n^2 +5n \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また、 $n=0,1,2$ とすると、 $(x+n)(n+5-x)$ は $x(5-x)$, $(x+1)(6-x)$, $(x+2)(7-x)$ となります。これらは、先ほどの式変形を使えば、それぞれ $x(5-x)$, $x(5-x)+6$, $x(5-x)+14$ となることがわかります。

以上から、 $X=x(5-x)$ とおくと
\begin{eqnarray}
A=X(X+6)(X+14)
\end{eqnarray}と変形することができます。

解答

ア:5
イ:6
ウエ:14

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解答編 つづき

問題

 $x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき、 $X=\myBox{オ}$ であり、 $A=2^{\myBox{カ}}$ である。

解説

\begin{eqnarray}
X
&=&
x(5-x) \\[5pt] &=&
\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\times \left(5-\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\right) \\[5pt] &=&
\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\times \dfrac{5-\sqrt{17}}{2} \\[5pt] &=&
\dfrac{25-17}{4} \\[5pt] &=&
2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

よって、
\begin{eqnarray}
A
&=&
X(X+6)(X+14) \\[5pt] &=&
2\times 8 \times 16 \\[5pt] &=&
2\times 2^3 \times 2^4 \\[5pt] &=&
2^8 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

オ:2
カ:8