センター試験数学I・数学A 2017年度追試第1問 [1] 解説

🕒 2017/05/26 🔄 2023/05/01

【必答問題】

問題編

問題

(1) $k=\dfrac{6}{\sqrt{3}+1}$ とする。分母を有理化すると\[ k = \myBox{ア} \sqrt{\myBox{イ} } -\myBox{ウ} \]となる。また、 k の整数部分は $\myBox{エ}$ である。

(2) x に関する不等式\[ 6 \geqq |(\sqrt{3}+1)x-12| \]を解くと\[ \myBox{オ} \sqrt{\myBox{カ} } -\myBox{キ} \leqq x \leqq \myBox{ク} \sqrt{\myBox{ケ} } -\myBox{コ} \]となり、この不等式を満たす整数は全部で $\myBox{サ}$ 個ある。

考え方

(2)は複雑そうですが、(1)をどう使うか考えましょう。無駄な計算はできる限りはぶいて考えていきましょう。

【必答問題】

解答編

問題

(1) $k=\dfrac{6}{\sqrt{3}+1}$ とする。分母を有理化すると\[ k = \myBox{ア} \sqrt{\myBox{イ} } -\myBox{ウ} \]となる。また、 k の整数部分は $\myBox{エ}$ である。

解説

分母を有理化して
\begin{eqnarray} k &=& \frac{6}{\sqrt{3}+1} \\[5pt] &=& \frac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \\[5pt] &=& \frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1} \\[5pt] &=& 3(\sqrt{3}-1) \\[5pt] &=& 3\sqrt{3}-3 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

次に、この整数部分を考えましょう。整数部分がすぐにわからないのはルートの部分ですが、ここは\[ 3\sqrt{3}=\sqrt{27} \]と変形できます。これは $5=\sqrt{25}$ と $6=\sqrt{36}$ の間なので、整数部分は $5$ です。よって、 $k=3\sqrt{3}-3$ の整数部分は、 $5-3=2$ となることがわかります。

$\sqrt{3}=1.732\cdots$ であることを覚えていれば、これを使って $3\sqrt{3}$ の整数部分が $5$ だ、と考えても構いません。

解答

アイウ：333
エ：2

参考

解答編つづき

問題

(2) x に関する不等式\[ 6 \geqq |(\sqrt{3}+1)x-12| \]を解くと\[ \myBox{オ} \sqrt{\myBox{カ} } -\myBox{キ} \leqq x \leqq \myBox{ク} \sqrt{\myBox{ケ} } -\myBox{コ} \]となり、この不等式を満たす整数は全部で $\myBox{サ}$ 個ある。

解説

不等式から絶対値を外すと、次の式が得られます。
\begin{eqnarray} -6 \leqq (\sqrt{3}+1)x-12 \leqq 6 \end{eqnarray}これを変形すると、次のようになります。 \begin{eqnarray} 6 \leqq (\sqrt{3}+1)x \leqq 18 \\[5pt] \frac{6}{\sqrt{3}+1} \leqq x \leqq \frac{18}{\sqrt{3}+1} \\[5pt] \end{eqnarray}この式をよく見ると、左の式は $k$ で、右の式は $3k$ であることがわかります。このことから、(1)の結果を使って、 \begin{eqnarray} 3\sqrt{3}-3 \leqq x \leqq 3(3\sqrt{3}-3) \\[5pt] 3\sqrt{3}-3 \leqq x \leqq 9\sqrt{3}-9 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

次に、これを満たす整数の個数を考えましょう。(1)より、左辺は $2$ と $3$ の間の数なので、この不等式を満たす最小の整数は $3$ です。

右の不等号について考えましょう。(1)の結果を単に3倍しても、右辺が $15$ と $18$ の間にあることがわかるだけで、確定しません。なので、右辺も(1)の後半と同じように考えます。 $9\sqrt{3}=\sqrt{243}$ なので、 $15=\sqrt{225}$ と $16=\sqrt{256}$ の間にあることがわかります。よって、右辺の整数部分は $15-9=6$ であり、この不等式を満たす最大の整数も $6$ であることがわかります。

以上から、不等式を満たす整数は、 $3$ から $6$ までの $4$ 個だとわかります。