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センター試験 数学I・数学A 2017年度 第4問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

(1) 百の位の数が 3、十の位の数が 7、一の位の数が a である3桁の自然数を $37a$ と表記する。
 $37a$ が 4で割り切れるのは\[ a=\myBox{ア}, \myBox{イ} \]のときである。ただし、 $\mybox{ア}$, $\mybox{イ}$ の解答の順序は問わない。

(2) 千の位の数が 7、百の位の数が b、十の位の数が 5、一の位の数が c である4桁の自然数を $7b5c$ と表記する。
 $7b5c$ が 4でも 9でも割り切れる b, c の組は、全部で $\myBox{ウ}$ 個ある。これらのうち、 $7b5c$ の値が最小になるのは $b=\myBox{エ}$, $c=\myBox{オ}$ のときで、$7b5c$ の値が最大になるのは $b=\myBox{カ}$, $c=\myBox{キ}$ のときである。
 また、$7b5c=(6\times n)^2$ となる b, c と自然数 n は\[ b=\myBox{ク},\ c=\myBox{ケ},\ n=\myBox{コサ} \]である。

(3) 1188 の正の約数は全部で $\myBox{シス}$ 個ある。
 これらのうち、2の倍数は $\myBox{セソ}$ 個、4の倍数は $\myBox{タ}$ 個ある。
 1188のすべての正の約数の積を2進数で表すと、末尾には0が連続して $\myBox{チツ}$ 個並ぶ。

考え方

4の倍数、9の倍数の見分け方を知っていても、こういう形で出題されると戸惑ってしまうかもしれません。ただ、組合せはかなり限定されるので、いろいろ代入して推測するのも手かもしれません。特に、(2)の後半は、組合せが少ないので、すべてチェックするほうが早いでしょう。

(3)の最後は、「2で割ったときに、何回割れるか」を考えましょう。なぜ割れる回数を考えるかは、10進法の場合に「0が続く個数と10で割れる回数が同じである」ことからわかるでしょう。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

(1) 百の位の数が 3、十の位の数が 7、一の位の数が a である3桁の自然数を $37a$ と表記する。
 $37a$ が 4で割り切れるのは\[ a=\myBox{ア}, \myBox{イ} \]のときである。ただし、 $\mybox{ア}$, $\mybox{イ}$ の解答の順序は問わない。

解説

$37a$ を「4で割り切れるかわかりやすくなるように」分解すると、次のようになります。
\begin{eqnarray} 300+70+a &=& 360+10+a \\ &=& 4\times 90+(10+a) \\ \end{eqnarray}つまり、 $10+a$ が4の倍数になるときを考えればいいことがわかります。

a は1桁の整数なので、 $a=2,6$ のときが答えとなります。

解答

アイ:2・6

解答編 つづき

問題

(2) 千の位の数が 7、百の位の数が b、十の位の数が 5、一の位の数が c である4桁の自然数を $7b5c$ と表記する。
 $7b5c$ が 4でも 9でも割り切れる b, c の組は、全部で $\myBox{ウ}$ 個ある。これらのうち、 $7b5c$ の値が最小になるのは $b=\myBox{エ}$, $c=\myBox{オ}$ のときで、$7b5c$ の値が最大になるのは $b=\myBox{カ}$, $c=\myBox{キ}$ のときである。

解説

(1)と同じように $7b5c$ を分解すると
\begin{eqnarray} 7000 + 100b + 50 +c &=& 4(1750+25b+10) +10+c \end{eqnarray}なので、 $10+c$ が4の倍数になればいいことがわかります。 c は1桁の整数なので $c=2,6$ が得られます。

また、9の倍数のとき、各位の数の和も9の倍数となるので、
\begin{eqnarray} 7+b+5+c=12+b+c \end{eqnarray}が9の倍数になることがわかります。 b, c はともに1桁の整数なので、 $c=2$ のときは $b=4$ となり, $c=6$ のときは $b=0,9$ となります。

以上から、 $(b,c)$ の組み合わせは $(4,2)$, $(0,6)$, $(9,6)$ の3通りであることがわかります。

これより、 $7b5c$ が最小になるときは $b=0$, $c=6$ のときで、最大になるのは $b=9$, $c=6$ のときであることがわかります。

解答

ウ:3
エオ:06
カキ:96

解答編 つづき

問題

 また、$7b5c=(6\times n)^2$ となる b, c と自然数 n は\[ b=\myBox{ク},\ c=\myBox{ケ},\ n=\myBox{コサ} \]である。

解説

$7b5c=(6\times n)^2$ となるとき、右辺からこの値は4でも9でも割り切れることがわかるので、 b, c は上で挙げた3つ組のどれかとなります。

 $7452=36\times 207$
 $7056=36\times 196=36\times 14^2$
 $7956=36\times 221$

となることから、 $b=0$, $c=6$, $n=14$ とすると $7b5c=(6\times n)^2$ となることがわかります。

解答

クケコサ:0614

解答編 つづき

問題

(3) 1188 の正の約数は全部で $\myBox{シス}$ 個ある。
 これらのうち、2の倍数は $\myBox{セソ}$ 個、4の倍数は $\myBox{タ}$ 個ある。
 1188のすべての正の約数の積を2進数で表すと、末尾には0が連続して $\myBox{チツ}$ 個並ぶ。

解説

1188を素因数分解すると\[ 1188=2^2\times 3^3 \times 11 \]となります。正の約数は $2^a\times 3^b \times 11^c$ と書けます( $a,b,c$ は整数で $a=0,1,2$, $b=0,1,2,3$, $c=0,1$ )。これから、正の約数の個数は\[ 3\times 4\times 2=24 \]個と求められます。

この約数のうち、2の倍数は、 a が1以上のものなので、\[ 2\times 4\times 2= 16 \]個となり、4の倍数は a が2以上なので\[ 1\times 4\times 2= 8 \]個となります。

すべての正の約数を掛け合わせたものが、2で何回割れるかを考えてみます。約数のうち、2の倍数が16個、4の倍数が8個あるので、すべての正の約数の積を2で割ると $16+8$ 回割れることがわかります(2の倍数16個の中に、4の倍数8個が含まれていることに注意しましょう)。よって、2進数で表すと、末尾には0が連続して24個並ぶことがわかります。

解答

シス:24
セソタ:168
チツ:24

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