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センター試験 数学I・数学A 2017年度 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 実数 x に関する2つの条件 p, q
\begin{eqnarray} p &:& x=1 \\ q &:& x^2=1 \end{eqnarray}とする。また、条件 p, q の否定をそれぞれ $\bar{p}$, $\bar{q}$ で表す。

(1) 次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 qp であるための $\myBox{ケ}$ 。
 $\bar{p}$ は q であるための $\myBox{コ}$ 。
 $(p$ または $\bar{q})$ は q であるための $\myBox{サ}$ 。
 $(\bar{p}$ かつ $q)$ は q であるための $\myBox{シ}$ 。

0: 必要条件だが十分条件でない
1: 十分条件だが必要条件でない
2: 必要十分条件である
3: 必要条件でも十分条件でもない

(2) 実数 x に関する条件 r
\begin{eqnarray} r:x\gt 0 \end{eqnarray}とする。次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 7 のうちから一つ選べ。

 3つの命題
 A:「 $(p$ かつ $q) \implies$ r
 B:「 $q \implies r$ 」
 C:「 $\bar{q} \implies \bar{p}$ 」
の真偽について正しいものは $\myBox{ス}$ である。

0: Aは真、Bは真、Cは真
1: Aは真、Bは真、Cは偽
2: Aは真、Bは偽、Cは真
3: Aは真、Bは偽、Cは偽
4: Aは偽、Bは真、Cは真
5: Aは偽、Bは真、Cは偽
6: Aは偽、Bは偽、Cは真
7: Aは偽、Bは偽、Cは偽

考え方

どういう条件と同値になるかを具体的に書いていくと、解きやすくなります。一番最後は、対偶で考えると解きやすいです。


【必答問題】

解答編

問題

 実数 x に関する2つの条件 p, q
\begin{eqnarray} p &:& x=1 \\ q &:& x^2=1 \end{eqnarray}とする。また、条件 p, q の否定をそれぞれ $\bar{p}$, $\bar{q}$ で表す。

(1) 次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 qp であるための $\myBox{ケ}$ 。
 $\bar{p}$ は q であるための $\myBox{コ}$ 。
 $(p$ または $\bar{q})$ は q であるための $\myBox{サ}$ 。
 $(\bar{p}$ かつ $q)$ は q であるための $\myBox{シ}$ 。

0: 必要条件だが十分条件でない
1: 十分条件だが必要条件でない
2: 必要十分条件である
3: 必要条件でも十分条件でもない

解説

まず、 $q:x^2=1$ は $x=\pm 1$ と同値です。なので、 $p\implies q$ は成り立ちますが、 $q\implies p$ は成り立ちません。このことから、 qp であるための必要条件であることがわかります。

$\bar{p}$ とは $x\ne1$ のことなので、 $\bar{p}\implies q$ も $q\implies \bar{p}$ も成り立ちません。なので、必要条件でも十分条件でもありません。

$\bar{q}$ とは、 x が1でも-1でもないということなので、 $(p$ または $\bar{q})$ というのは、「 x が -1以外である」という条件と同値です。そのため、これは q であるための必要条件でも十分条件でもありません。

$\bar{p}$ とは $x\ne1$ なので、 $(\bar{p}$ かつ $q)$ とは「 $x=-1$ 」という条件と同値です。これが成り立つときは q が成り立ちますが、 q が成り立ってもこれは成り立ちません。よって、シには「十分条件だが必要条件でない」が入ることがわかります。

解答

ケコサシ:0331

参考

解答編 つづき

問題

(2) 実数 x に関する条件 r
\begin{eqnarray} r:x\gt 0 \end{eqnarray}とする。次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 7 のうちから一つ選べ。

 3つの命題
 A:「 $(p$ かつ $q) \implies$ r
 B:「 $q \implies r$ 」
 C:「 $\bar{q} \implies \bar{p}$ 」
の真偽について正しいものは $\myBox{ス}$ である。

0: Aは真、Bは真、Cは真
1: Aは真、Bは真、Cは偽
2: Aは真、Bは偽、Cは真
3: Aは真、Bは偽、Cは偽
4: Aは偽、Bは真、Cは真
5: Aは偽、Bは真、Cは偽
6: Aは偽、Bは偽、Cは真
7: Aは偽、Bは偽、Cは偽

解説

まずはAを考えます。 $(p$ かつ $q)$ とは、「 $x=1$ 」という条件と同値です。このとき r が成り立つので、Aは真です。

q が成り立つとき、 $x=-1$ もありえるので、 r が成り立つとは限りません。なので、Bは偽です。

最後のCは対偶を考えたほうが楽でしょう。Cの真偽は、その対偶「$p \implies q$」の真偽と一致します。これは成り立つので、Cも真であることがわかります。

以上から、真偽真となる2が正解となります。

解答

ス:2

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