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センター試験 数学I・数学A 2017年度 第1問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 x は正の実数で、 $\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2}=9$ を満たすとする。このとき\[ \left( x+\frac{2}{x} \right)^2 = \myBox{アイ} \]であるから、 $\displaystyle x+\frac{2}{x}=\sqrt{\mybox{アイ} }$ である。さらに
\begin{eqnarray} x^3 +\frac{8}{x^3} &=& \left( x+\frac{2}{x} \right)\left( x^2+\frac{4}{x^2}-\myBox{ウ} \right) \\[5pt] &=& \myBox{エ}\sqrt{\myBox{オカ} } \end{eqnarray}である。また\[ x^4+\frac{16}{x^4}=\myBox{キク} \]である。

考え方

x と $\displaystyle \frac{2}{x}$ を掛けると文字が消えることを利用して解いていきます。一番最後はノーヒントですが、一番初めと同じように2乗を使って解くことができます。


【必答問題】

解答編

問題

 x は正の実数で、 $\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2}=9$ を満たすとする。このとき\[ \left( x+\frac{2}{x} \right)^2 = \myBox{アイ} \]であるから、 $\displaystyle x+\frac{2}{x}=\sqrt{\mybox{アイ} }$ である。

解説

左辺を展開すると
\begin{eqnarray} & & \left( x+\frac{2}{x} \right)^2 \\[5pt] &=& x^2 +2x\times\frac{2}{x} +\frac{4}{x^2} \\[5pt] &=& x^2 +4 +\frac{4}{x^2} \\[5pt] &=& 9+4 \\[5pt] &=& 13 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また、 x は正なので、 $\displaystyle x+\frac{2}{x}=\sqrt{13}$ となります。

解答

アイ:13

参考

解答編 つづき

問題

さらに
\begin{eqnarray} x^3 +\frac{8}{x^3} &=& \left( x+\frac{2}{x} \right)\left( x^2+\frac{4}{x^2}-\myBox{ウ} \right) \\[5pt] &=& \myBox{エ}\sqrt{\myBox{オカ} } \end{eqnarray}である。

解説

ウの部分を a とおき、2つ目の式を展開すると次のようになります。
\begin{eqnarray} & & \left( x+\frac{2}{x} \right)\left( x^2+\frac{4}{x^2}-a \right) \\[5pt] &=& x^3 +\frac{4}{x} +2x +\frac{8}{x^3} -a\left( x+\frac{2}{x} \right) \\[5pt] &=& x^3 +\frac{8}{x^3} +2\left( x+\frac{2}{x} \right) -a\left( x+\frac{2}{x} \right) \\[5pt] \end{eqnarray}これが左辺と一致するので、 $a=2$ と求められます。

もしくは、3乗の因数分解の式\[ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) \]を用いて、ウが2であることを求めることもできます。

後半部分については
\begin{eqnarray} & & \left( x+\frac{2}{x} \right)\left( x^2+\frac{4}{x^2}-2 \right) \\[5pt] &=& \sqrt{13} ( 9-2 ) \\[5pt] &=& 7\sqrt{13} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

解答

ウ:2
エオカ:713

解答編 つづき

問題

また\[ x^4+\frac{16}{x^4}=\myBox{キク} \]である。

解説

一番初めの式を2乗すると
\begin{eqnarray} & & \left( x^2+\frac{4}{x^2} \right)^2 \\[5pt] &=& x^4 +2x^2 \times \frac{4}{x^2} +\frac{16}{x^4} \\[5pt] &=& x^4+\frac{16}{x^4} +8 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。左辺は $9^2=81$ なので \begin{eqnarray} x^4+\frac{16}{x^4} = 81-8=73 \end{eqnarray}と求められます。

解答

キク:73

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