センター試験 数学I・数学A 2017年度 第1問 [3] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　a を定数とし、\[g(x)=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16\]とおく。2次関数 $y=g(x)$ のグラフの頂点は\[ \left(\ \myBox{セ}a^2+\myBox{ソ}a,\ \myBox{タ}a^4 +\myBox{チツ}a^2 +\myBox{テト} \ \right) \]である。

　a が実数全体を動くとき、頂点の x 座標の最小値は $\displaystyle -\frac{\myBox{ナニ} }{\myBox{ヌネ} }$ である。次に $t=a^2$ とおくと、頂点の y 座標は\[ \mybox{タ}t^2+\mybox{チツ}t+\mybox{テト} \]と表せる。したがって、 a が実数全体動くとき、頂点の y 座標の最小値は $\myBox{ノハ}$ である。

考え方

平方完成を使って解いていきます。一番最後は、変数の範囲に注意します。

【必答問題】

解答編

問題

　a を定数とし、\[g(x)=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16\]とおく。2次関数 $y=g(x)$ のグラフの頂点は\[ \left(\ \myBox{セ}a^2+\myBox{ソ}a,\ \myBox{タ}a^4 +\myBox{チツ}a^2 +\myBox{テト} \ \right) \]である。

解説

頂点を求めるには、平方完成をすればいいですね。
\begin{eqnarray} & & x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16 \\[5pt] &=& \{ x-(3a^2+5a) \}^2 \\ & & -(3a^2+5a)^2 +18a^4+30a^3+49a^2+16 \\[5pt] &=& \{ x-(3a^2+5a) \}^2 \\ & & -9a^4-30a^3-25a^2 +18a^4+30a^3+49a^2+16 \\[5pt] &=& \{ x-(3a^2+5a) \}^2 +9a^4+24a^2+16 \\ \end{eqnarray}となります。よって、頂点の x 座標は $3a^2+5a$, y 座標は $9a^4+24a^2+16$ となります。

解答

セソ：35
タチツテト：92416

解答編 つづき

問題

　a が実数全体を動くとき、頂点の x 座標の最小値は $\displaystyle -\frac{\myBox{ナニ} }{\myBox{ヌネ} }$ である。

解説

x 座標を平方完成すると、
\begin{eqnarray} & & 3a^2+5a \\[5pt] &=& 3\left( a^2+\frac{5}{3}a \right) \\[5pt] &=& 3\left( a+\frac{5}{6} \right)^2 -3\times\frac{5^2}{6^2} \\[5pt] &=& 3\left( a+\frac{5}{6} \right)^2 -\frac{25}{12} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、 a が実数全体を動くと、頂点の x 座標の最小値は $\displaystyle -\frac{25}{12}$ になることがわかります。

解答

ナニヌネ：2512

解答編 つづき

問題

次に $t=a^2$ とおくと、頂点の y 座標は\[ \mybox{タ}t^2+\mybox{チツ}t+\mybox{テト} \]と表せる。したがって、 a が実数全体動くとき、頂点の y 座標の最小値は $\myBox{ノハ}$ である。

解説

$t=a^2$ とおいたときに、 t の動く範囲に気をつけましょう。 a が実数の範囲を動くとき、 t は0以上の範囲を動きます。実数全体ではないことに注意します。

さて、 $t=a^2$ と置き換えた y 座標を平方完成すると
\begin{eqnarray} & & 9t^2 +24t+16 \\[5pt] &=& 9\left(t^2 +\frac{8}{3}t\right) +16 \\[5pt] &=& 9\left(t +\frac{4}{3}\right)^2 -9\times \frac{4^2}{3^2} +16 \\[5pt] &=& 9\left(t +\frac{4}{3}\right)^2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。このグラフは次のようになります。
このことから、最小となるのは、 $t=0$ のときで、その値は $16$ となることがわかります。

解答

ノハ：16