🏠 Home / 大学入試 / センター試験 / センターIA

センター試験 数学I・数学A 2017年度 第2問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

(図は元の問題文を参考に再現しています。)

 スキージャンプは、飛距離および空中姿勢の美しさを競う競技である。選手は斜面を滑り降り、斜面の端から空中に飛び出す。飛距離 D (単位はm)から得点 X が決まり、空中姿勢から得点 Y が決まる。ある大会における58回のジャンプについて考える。

(1) 得点 X, 得点 Y および飛び出すときの速度 V (単位は km/h)について、図1の3つの散布図を得た。

図1
(出典:国際スキー連盟のWebページより作成)

 次の $\mybox{シ}$, $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 6 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 図1から読み取れることとして正しいものは、 $\myBox{シ}$, $\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$ である。

 0: XV の間の相関は、 XY の間の相関より強い。
 1: XY の間には正の相関がある。
 2: V が最大のジャンプは、 X も最大である。
 3: V が最大のジャンプは、 Y も最大である。
 4: Y が最小のジャンプは、 X は最小ではない。
 5: X が80以上のジャンプは、すべて V が93以上である。
 6: Y が55以上かつ V が94以上のジャンプはない。

(2) 得点 X は飛距離 D から次の計算式によって算出される。\[ X=1.80 \times (D-125.0) +60.0 \]

 次の $\mybox{ソ}$, $\mybox{タ}$, $\mybox{チ}$ にそれぞれ当てはまるものを、下の 0 ~ 6 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

  • X の分散は、 D の分散の $\myBox{ソ}$ 倍になる。
  • XY の共分散は、 DY の共分散の $\myBox{タ}$ 倍である。ただし、共分散は、2つの変量のそれぞれにおいて平均値からの偏差を求め、偏差の積の平均値として定義される。
  • XY の相関係数は、 DY の相関係数の $\myBox{チ}$ 倍である。

 0: -125
 1: -1.80
 2: 1
 3: 1.80
 4: 3.24
 5: 3.60
 6: 60.0

(3) 58回のジャンプは29名の選手が2回ずつ行ったものである。1回目の $X+Y$ (得点 X と得点 Y の和)の値に対するヒストグラムと2回目の $X+Y$ の値に対するヒストグラムは図2の A, B のうちのいずれかである。また、1回目の $X+Y$ の値に対する箱ひげ図と2回目の $X+Y$ の値に対する箱ひげ図は図3の a, b のうちのいずれかである。ただし、1回目の $X+Y$ の最小値は 108.0 であった。

図2
(出典:国際スキー連盟のWebページより作成)


図3
(出典:国際スキー連盟のWebページより作成)

 次の $\mybox{ツ}$ に当てはまるものを、下の表の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 1回目の $X+Y$ の値について、ヒストグラムおよび箱ひげ図の組合せとして正しいものは、 $\myBox{ツ}$ である。

0 1 2 3
ヒストグラム A A B B
箱ひげ図 a b a b

 次の $\mybox{テ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 図3から読み取れることとして正しいものは、 $\myBox{テ}$ である。

 0: 1回目の $X+Y$ の四分位範囲は、2回目の $X+Y$ の四分位範囲より大きい。
 1: 1回目の $X+Y$ の中央値は、2回目の $X+Y$ の中央値より大きい。
 2: 1回目の $X+Y$ の最大値は、2回目の $X+Y$ の最大値より小さい。
 3: 1回目の $X+Y$ の最小値は、2回目の $X+Y$ の最小値より小さい。

考え方

グラフから読み取る問題は、ひねりはありません。相関の意味や、箱ひげ図の定義をしっかりおさえておけば、それほど難しくはないでしょう。

変数を変換したときに分散や相関係数がどう変わるかは、少し難しいです。定義に戻って確認すればひらめくかもしれませんが、センター試験ではよく聞かれる内容なので、事前に考え方をまとめておく方がいいでしょう。


mathjax: ["waku"]

【必答問題】

解答編

問題

(図は元の問題文を参考に再現しています。)

 スキージャンプは、飛距離および空中姿勢の美しさを競う競技である。選手は斜面を滑り降り、斜面の端から空中に飛び出す。飛距離 D (単位はm)から得点 X が決まり、空中姿勢から得点 Y が決まる。ある大会における58回のジャンプについて考える。

(1) 得点 X, 得点 Y および飛び出すときの速度 V (単位は km/h)について、図1の3つの散布図を得た。

図1
(出典:国際スキー連盟のWebページより作成)

 次の $\mybox{シ}$, $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 6 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 図1から読み取れることとして正しいものは、 $\myBox{シ}$, $\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$ である。

 0: XV の間の相関は、 XY の間の相関より強い。
 1: XY の間には正の相関がある。
 2: V が最大のジャンプは、 X も最大である。
 3: V が最大のジャンプは、 Y も最大である。
 4: Y が最小のジャンプは、 X は最小ではない。
 5: X が80以上のジャンプは、すべて V が93以上である。
 6: Y が55以上かつ V が94以上のジャンプはない。

解説

1個1個確認していきます。

0について。散布図を見ると、 XY との散布図の方が、より直線的になっているので、こちらのほうが相関が強いことがわかります。よって、これは正しくありません。

1について。 XY との散布図を見ると、右肩上がりになっているので、正の相関があると言えます。正しいです。

2について。 XV との散布図を見ます。 V が最大とは右端の点のことですが、それが一番上にあるわけではないので、 X が最大ではありません。よって、正しくありません。

3について。 YV との散布図を見ます。 V が最大とは右端の点のことですが、それが一番上にあるわけではないので、 Y が最大ではありません。これも正しくありません。

4について。 XY との散布図を見ます。 Y が最小とは左端の点のことですが、それが一番下にあるわけではないので、 X が最小ではありません。よって、これは正しい文章です。

5について。 XV との散布図を見ます。 X が80以上でも、 V が93より小さい点があります。なので、これは正しくありません。

6について。 YV との散布図を見ます。 Y が55以上で V が94以上の部分には点がありません。よって、これは正しいです。

以上から、 1, 4, 6 が正しいことがわかります。

解答

シスセ:1・4・6

解答編 つづき

問題

(2) 得点 X は飛距離 D から次の計算式によって算出される。\[ X=1.80 \times (D-125.0) +60.0 \]

 次の $\mybox{ソ}$, $\mybox{タ}$, $\mybox{チ}$ にそれぞれ当てはまるものを、下の 0 ~ 6 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

  • X の分散は、 D の分散の $\myBox{ソ}$ 倍になる。
  • XY の共分散は、 DY の共分散の $\myBox{タ}$ 倍である。ただし、共分散は、2つの変量のそれぞれにおいて平均値からの偏差を求め、偏差の積の平均値として定義される。
  • XY の相関係数は、 DY の相関係数の $\myBox{チ}$ 倍である。

 0: -125
 1: -1.80
 2: 1
 3: 1.80
 4: 3.24
 5: 3.60
 6: 60.0

解説

一般に、 a 倍すると、分散は $a^2$ 倍されます。定数を足し引きしても分散は変わらないため、 X の分散は D の分散の $1.80^2=3.24$ 倍となります。(参考:【応用】データの変換で分散はどう変わるか

共分散は、定数を足し引きしても変わらず、 a 倍すると共分散も a 倍されるので、 XY との共分散は、 DY との共分散の $1.80$ 倍となります。

また、定数と足し引きしても、正の数を掛けたり割ったりしても相関係数は変わりません。(参考:【応用】データの変換で相関係数はどう変わるか

解答

ソタチ:432

解答編 つづき

問題

(3) 58回のジャンプは29名の選手が2回ずつ行ったものである。1回目の $X+Y$ (得点 X と得点 Y の和)の値に対するヒストグラムと2回目の $X+Y$ の値に対するヒストグラムは図2の A, B のうちのいずれかである。また、1回目の $X+Y$ の値に対する箱ひげ図と2回目の $X+Y$ の値に対する箱ひげ図は図3の a, b のうちのいずれかである。ただし、1回目の $X+Y$ の最小値は 108.0 であった。

図2
(出典:国際スキー連盟のWebページより作成)


図3
(出典:国際スキー連盟のWebページより作成)

 次の $\mybox{ツ}$ に当てはまるものを、下の表の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 1回目の $X+Y$ の値について、ヒストグラムおよび箱ひげ図の組合せとして正しいものは、 $\myBox{ツ}$ である。

0 1 2 3
ヒストグラム A A B B
箱ひげ図 a b a b

 次の $\mybox{テ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 図3から読み取れることとして正しいものは、 $\myBox{テ}$ である。

 0: 1回目の $X+Y$ の四分位範囲は、2回目の $X+Y$ の四分位範囲より大きい。
 1: 1回目の $X+Y$ の中央値は、2回目の $X+Y$ の中央値より大きい。
 2: 1回目の $X+Y$ の最大値は、2回目の $X+Y$ の最大値より小さい。
 3: 1回目の $X+Y$ の最小値は、2回目の $X+Y$ の最小値より小さい。

解説

まず、ヒストグラムを見ます。1回目の $X+Y$ の最小値が 108.0 であったことを考えると、 B のヒストグラムは「100以上105未満」のデータがあるので、これは1回目ではないことがわかります。よって、1回目はA、2回目はBであることがまずわかります。

続いて、箱ひげ図を見ます。 b の箱ひげ図は、最小値が105以下となっていることから、1回目でないことがわかります。よって、1回目はa、2回目はbであることがわかります。

次に、箱ひげ図について、正しい選択肢を探します。

0について。四分位範囲は、箱の長さです。a は、15より少し小さいですが、 b は15より少し大きいことがわかります。よって、1回目の方が小さいことがわかります。正しくありません。

1について。中央値とは、箱の中央の線を見ればわかります。a の方が大きく、1回目の方が大きいことがわかります。これが正しい選択肢です。

2について。最大値は、右端を見ます。a の方が大きいため、1回目の方が大きいことがわかります。正しくありません。

3について。最小値は左端です。 a の方が大きいため、1回目の方が大きいことがわかります。これも正しくありません。

解答

ツテ:01

関連するページ