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センター試験 数学I・数学A 2017年度 第3問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 あたりが2本、はずれが2本の合計4本からなるくじがある。A, B, C の3人がこの順に1本ずつくじを引く。ただし、1度引いたくじはもとに戻さない。

(1) A, B の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_1$ の確率は、 $\displaystyle \frac{\myBox{ア} }{\myBox{イ} }$ である。

(2) 次の $\mybox{ウ}$, $\mybox{エ}$, $\mybox{オ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 A, B, C の3人で2本のあたりのくじを引く事象 E は、3つの排反な事象 $\myBox{ウ}$, $\myBox{エ}$, $\myBox{オ}$ の和事象である。

 0: A がはずれのくじを引く事象
 1: A だけがはずれのくじを引く事象
 2: B がはずれのくじを引く事象
 3: B だけがはずれのくじを引く事象
 4: C がはずれのくじを引く事象
 5: C だけがはずれのくじを引く事象

 また、その和事象の確率は $\displaystyle \frac{\myBox{カ} }{\myBox{キ} }$ である。

(3) 事象 $E_1$ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率は、 $\displaystyle \frac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ である。

(4) 次の $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 B, C の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_2$ は、3つの排反な事象 $\myBox{コ}$, $\myBox{サ}$, $\myBox{シ}$ の和事象である。

 0: A がはずれのくじを引く事象
 1: A だけがはずれのくじを引く事象
 2: B がはずれのくじを引く事象
 3: B だけがはずれのくじを引く事象
 4: C がはずれのくじを引く事象
 5: C だけがはずれのくじを引く事象

 また、その和事象の確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ス} }{\myBox{セ} }$ である。他方、 A, C の少なくとも一方があたりのくじをひく事象 $E_3$ の確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ソ} }{\myBox{タ} }$ である。

(5) 次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 6 のうちから一つ選べ。

 事象 $E_1$ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 $p_1$ 、事象 $E_2$ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 $p_2$ 、事象 $E_3$ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 $p_3$ の間の大小関係は、 $\myBox{チ}$ である。

 0: $p_1 \lt p_2 \lt p_3$
 1: $p_1 \gt p_2 \gt p_3$
 2: $p_1 \lt p_2 = p_3$
 3: $p_1 \gt p_2 = p_3$
 4: $p_1 = p_2 \lt p_3$
 5: $p_1 = p_2 \gt p_3$
 6: $p_1 = p_2 = p_3$

考え方

(1)の「少なくとも」は余事象を考えて計算します。(2)の「排反」とは「同時には起こらない」ということです。

(5)は計算しなくても予想できる人もいるかもしれません。条件付き確率はセンターでは最近出やすいので、きちんと出し方を確認しておきましょう。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 あたりが2本、はずれが2本の合計4本からなるくじがある。A, B, C の3人がこの順に1本ずつくじを引く。ただし、1度引いたくじはもとに戻さない。

(1) A, B の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_1$ の確率は、 $\displaystyle \frac{\myBox{ア} }{\myBox{イ} }$ である。

解説

余事象を考えると「AもBもはずれを引く」となります。よって、求める確率は
\begin{eqnarray} 1 -\frac{2\times1}{4\times3}=\frac{5}{6} \end{eqnarray}となります。

解答

アイ:56

解答編 つづき

問題

(2) 次の $\mybox{ウ}$, $\mybox{エ}$, $\mybox{オ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 A, B, C の3人で2本のあたりのくじを引く事象 E は、3つの排反な事象 $\myBox{ウ}$, $\myBox{エ}$, $\myBox{オ}$ の和事象である。

 0: A がはずれのくじを引く事象
 1: A だけがはずれのくじを引く事象
 2: B がはずれのくじを引く事象
 3: B だけがはずれのくじを引く事象
 4: C がはずれのくじを引く事象
 5: C だけがはずれのくじを引く事象

 また、その和事象の確率は $\displaystyle \frac{\myBox{カ} }{\myBox{キ} }$ である。

解説

3人で2本のあたりを引くということは、次の3つのケースに分けられます。
 Aあたり、Bあたり、Cはずれ
 Aあたり、Bはずれ、Cあたり
 Aはずれ、Bあたり、Cあたり
つまり、 1, 3, 5 の事象を合わせたものになることがわかります。

この確率は
\begin{eqnarray} & & \frac{2\times 1\times 2+2\times 2\times 1+2\times 2\times 1}{4\times 3\times 2} \\[5pt] &=& \frac{12}{4\times 3\times 2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

解答

ウエオ:1・3・5
カキ:12

解答編 つづき

問題

(3) 事象 $E_1$ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率は、 $\displaystyle \frac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ である。

解説

$E_1$ が起こったとき(A, B の少なくとも一方があたり)のときの Eが起こる(A, B, C の3人で2本のあたりのくじを引く)条件付き確率を求めます。

E が起こったとき、自動的に $E_1$ も起こることになるので、 $E_1$ と $E$ が同時に起こる確率は、 E が起こる確率と等しく、 $\displaystyle \frac{1}{2}$ となります。よって、求める条件付き確率は
\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \div \frac{5}{6} = \frac{3}{5} \end{eqnarray}となります。

解答

クケ:35

解答編 つづき

問題

(4) 次の $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 B, C の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_2$ は、3つの排反な事象 $\myBox{コ}$, $\myBox{サ}$, $\myBox{シ}$ の和事象である。

 0: A がはずれのくじを引く事象
 1: A だけがはずれのくじを引く事象
 2: B がはずれのくじを引く事象
 3: B だけがはずれのくじを引く事象
 4: C がはずれのくじを引く事象
 5: C だけがはずれのくじを引く事象

 また、その和事象の確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ス} }{\myBox{セ} }$ である。他方、 A, C の少なくとも一方があたりのくじをひく事象 $E_3$ の確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ソ} }{\myBox{タ} }$ である。

解説

「B, C の少なくとも一方があたりのくじを引く」というのは、次のケースに分かれます。

 Aはずれ、Bあたり、Cあたり
 Aはずれ、Bあたり、Cはずれ
 Aあたり、Bあたり、Cはずれ
 Aはずれ、Bはずれ、Cあたり
 Aあたり、Bはずれ、Cあたり

ここで、Aがはずれると自動的にBかCがあたりをひくことになり、上の1つ目2つ目4つ目がカバーされることがわかります。残りの3つ目と5つ目は、ぞれぞれ「Cだけがはずれ」「Bだけがはずれ」となります。これらは選択肢の 0, 3, 5 に対応しますが、これらが同時に起こることはなく、また、3つの和事象が $E_2$ となることもわかるので、この組み合わせが答えになります。

この確率は
\begin{eqnarray} \frac{1}{2} +\frac{2\times 2\times 1+2\times 1\times 2}{4\times 3\times 2} = \frac{1}{2} +\frac{1}{3} = \frac{5}{6} \end{eqnarray}となります。

また、 A, C の少なくとも一方があたりをひく確率は、余事象を用いて考えると、全体から「A, Cがともにはずれ」となる確率をひけばいいので
\begin{eqnarray} 1-\frac{2\times2\times 1}{4\times 3\times 2}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} \end{eqnarray}となります。

解答

コサシ:0・3・5
スセ:56
ソタ:56

解答編 つづき

問題

(5) 次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 6 のうちから一つ選べ。

 事象 $E_1$ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 $p_1$ 、事象 $E_2$ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 $p_2$ 、事象 $E_3$ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 $p_3$ の間の大小関係は、 $\myBox{チ}$ である。

 0: $p_1 \lt p_2 \lt p_3$
 1: $p_1 \gt p_2 \gt p_3$
 2: $p_1 \lt p_2 = p_3$
 3: $p_1 \gt p_2 = p_3$
 4: $p_1 = p_2 \lt p_3$
 5: $p_1 = p_2 \gt p_3$
 6: $p_1 = p_2 = p_3$

解説

(3)と同様に考えると、 $E_2$ と $E$ が同時に起こる確率、 $E_3$ と $E$ が同時に起こる確率はともに E が起こる確率と等しくなります。また、 $E_1$, $E_2$, $E_3$ が起こる確率も等しいので、条件付き確率も等しくなります。

解答

チ:6

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