センター試験 数学I・数学A 2017年度 第4問 解説
【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)
問題編
問題
(1) 百の位の数が 3、十の位の数が 7、一の位の数が a である3桁の自然数を $37a$ と表記する。
$37a$ が 4で割り切れるのは\[ a=\myBox{ア}, \myBox{イ} \]のときである。ただし、 $\mybox{ア}$, $\mybox{イ}$ の解答の順序は問わない。(2) 千の位の数が 7、百の位の数が b、十の位の数が 5、一の位の数が c である4桁の自然数を $7b5c$ と表記する。
$7b5c$ が 4でも 9でも割り切れる b, c の組は、全部で $\myBox{ウ}$ 個ある。これらのうち、 $7b5c$ の値が最小になるのは $b=\myBox{エ}$, $c=\myBox{オ}$ のときで、$7b5c$ の値が最大になるのは $b=\myBox{カ}$, $c=\myBox{キ}$ のときである。
また、$7b5c=(6\times n)^2$ となる b, c と自然数 n は\[ b=\myBox{ク},\ c=\myBox{ケ},\ n=\myBox{コサ} \]である。(3) 1188 の正の約数は全部で $\myBox{シス}$ 個ある。
これらのうち、2の倍数は $\myBox{セソ}$ 個、4の倍数は $\myBox{タ}$ 個ある。
1188のすべての正の約数の積を2進数で表すと、末尾には0が連続して $\myBox{チツ}$ 個並ぶ。
考え方
4の倍数、9の倍数の見分け方を知っていても、こういう形で出題されると戸惑ってしまうかもしれません。ただ、組合せはかなり限定されるので、いろいろ代入して推測するのも手かもしれません。特に、(2)の後半は、組合せが少ないので、すべてチェックするほうが早いでしょう。
(3)の最後は、「2で割ったときに、何回割れるか」を考えましょう。なぜ割れる回数を考えるかは、10進法の場合に「0が続く個数と10で割れる回数が同じである」ことからわかるでしょう。
【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)
解答編
問題
(1) 百の位の数が 3、十の位の数が 7、一の位の数が a である3桁の自然数を $37a$ と表記する。
$37a$ が 4で割り切れるのは\[ a=\myBox{ア}, \myBox{イ} \]のときである。ただし、 $\mybox{ア}$, $\mybox{イ}$ の解答の順序は問わない。
解説
$37a$ を「4で割り切れるかわかりやすくなるように」分解すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
300+70+a
&=&
360+10+a \\
&=&
4\times 90+(10+a) \\
\end{eqnarray}つまり、 $10+a$ が4の倍数になるときを考えればいいことがわかります。
a は1桁の整数なので、 $a=2,6$ のときが答えとなります。
解答
アイ：2・6
解答編 つづき
問題
(2) 千の位の数が 7、百の位の数が b、十の位の数が 5、一の位の数が c である4桁の自然数を $7b5c$ と表記する。
$7b5c$ が 4でも 9でも割り切れる b, c の組は、全部で $\myBox{ウ}$ 個ある。これらのうち、 $7b5c$ の値が最小になるのは $b=\myBox{エ}$, $c=\myBox{オ}$ のときで、$7b5c$ の値が最大になるのは $b=\myBox{カ}$, $c=\myBox{キ}$ のときである。
解説
(1)と同じように $7b5c$ を分解すると
\begin{eqnarray}
7000 + 100b + 50 +c
&=&
4(1750+25b+10) +10+c
\end{eqnarray}なので、 $10+c$ が4の倍数になればいいことがわかります。 c は1桁の整数なので $c=2,6$ が得られます。
また、9の倍数のとき、各位の数の和も9の倍数となるので、
\begin{eqnarray}
7+b+5+c=12+b+c
\end{eqnarray}が9の倍数になることがわかります。 b, c はともに1桁の整数なので、 $c=2$ のときは $b=4$ となり, $c=6$ のときは $b=0,9$ となります。
以上から、 $(b,c)$ の組み合わせは $(4,2)$, $(0,6)$, $(9,6)$ の3通りであることがわかります。
これより、 $7b5c$ が最小になるときは $b=0$, $c=6$ のときで、最大になるのは $b=9$, $c=6$ のときであることがわかります。
解答
ウ：3
エオ：06
カキ：96
解答編 つづき
問題
また、$7b5c=(6\times n)^2$ となる b, c と自然数 n は\[ b=\myBox{ク},\ c=\myBox{ケ},\ n=\myBox{コサ} \]である。
解説
$7b5c=(6\times n)^2$ となるとき、右辺からこの値は4でも9でも割り切れることがわかるので、 b, c は上で挙げた3つ組のどれかとなります。
$7452=36\times 207$
$7056=36\times 196=36\times 14^2$
$7956=36\times 221$
となることから、 $b=0$, $c=6$, $n=14$ とすると $7b5c=(6\times n)^2$ となることがわかります。
解答
クケコサ：0614
解答編 つづき
問題
(3) 1188 の正の約数は全部で $\myBox{シス}$ 個ある。
これらのうち、2の倍数は $\myBox{セソ}$ 個、4の倍数は $\myBox{タ}$ 個ある。
1188のすべての正の約数の積を2進数で表すと、末尾には0が連続して $\myBox{チツ}$ 個並ぶ。
解説
1188を素因数分解すると\[ 1188=2^2\times 3^3 \times 11 \]となります。正の約数は $2^a\times 3^b \times 11^c$ と書けます（ $a,b,c$ は整数で $a=0,1,2$, $b=0,1,2,3$, $c=0,1$ ）。これから、正の約数の個数は\[ 3\times 4\times 2=24 \]個と求められます。
この約数のうち、2の倍数は、 a が1以上のものなので、\[ 2\times 4\times 2= 16 \]個となり、4の倍数は a が2以上なので\[ 1\times 4\times 2= 8 \]個となります。
すべての正の約数を掛け合わせたものが、2で何回割れるかを考えてみます。約数のうち、2の倍数が16個、4の倍数が8個あるので、すべての正の約数の積を2で割ると $16+8$ 回割れることがわかります（2の倍数16個の中に、4の倍数8個が含まれていることに注意しましょう）。よって、2進数で表すと、末尾には0が連続して24個並ぶことがわかります。
解答
シス：24
セソタ：168
チツ：24
