センター試験 数学I・数学A 2017年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　実数 x に関する2つの条件 p, q を
\begin{eqnarray} p &:& x=1 \\ q &:& x^2=1 \end{eqnarray}とする。また、条件 p, q の否定をそれぞれ $\bar{p}$, $\bar{q}$ で表す。

(1) 次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　q は p であるための $\myBox{ケ}$ 。
　$\bar{p}$ は q であるための $\myBox{コ}$ 。
　$(p$ または $\bar{q})$ は q であるための $\myBox{サ}$ 。
　$(\bar{p}$ かつ $q)$ は q であるための $\myBox{シ}$ 。

0: 必要条件だが十分条件でない
1: 十分条件だが必要条件でない
2: 必要十分条件である
3: 必要条件でも十分条件でもない

(2) 実数 x に関する条件 r を
\begin{eqnarray} r:x\gt 0 \end{eqnarray}とする。次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。

　3つの命題
　Ａ：「 $(p$ かつ $q) \implies$ r 」
　Ｂ：「 $q \implies r$ 」
　Ｃ：「 $\bar{q} \implies \bar{p}$ 」
の真偽について正しいものは $\myBox{ス}$ である。

0: Ａは真、Ｂは真、Ｃは真
1: Ａは真、Ｂは真、Ｃは偽
2: Ａは真、Ｂは偽、Ｃは真
3: Ａは真、Ｂは偽、Ｃは偽
4: Ａは偽、Ｂは真、Ｃは真
5: Ａは偽、Ｂは真、Ｃは偽
6: Ａは偽、Ｂは偽、Ｃは真
7: Ａは偽、Ｂは偽、Ｃは偽

考え方

どういう条件と同値になるかを具体的に書いていくと、解きやすくなります。一番最後は、対偶で考えると解きやすいです。

【必答問題】

解答編

問題

　実数 x に関する2つの条件 p, q を
\begin{eqnarray} p &:& x=1 \\ q &:& x^2=1 \end{eqnarray}とする。また、条件 p, q の否定をそれぞれ $\bar{p}$, $\bar{q}$ で表す。

(1) 次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　q は p であるための $\myBox{ケ}$ 。
　$\bar{p}$ は q であるための $\myBox{コ}$ 。
　$(p$ または $\bar{q})$ は q であるための $\myBox{サ}$ 。
　$(\bar{p}$ かつ $q)$ は q であるための $\myBox{シ}$ 。

0: 必要条件だが十分条件でない
1: 十分条件だが必要条件でない
2: 必要十分条件である
3: 必要条件でも十分条件でもない

解説

まず、 $q:x^2=1$ は $x=\pm 1$ と同値です。なので、 $p\implies q$ は成り立ちますが、 $q\implies p$ は成り立ちません。このことから、 q は p であるための必要条件であることがわかります。

$\bar{p}$ とは $x\ne1$ のことなので、 $\bar{p}\implies q$ も $q\implies \bar{p}$ も成り立ちません。なので、必要条件でも十分条件でもありません。

$\bar{q}$ とは、 x が1でも-1でもないということなので、 $(p$ または $\bar{q})$ というのは、「 x が -1以外である」という条件と同値です。そのため、これは q であるための必要条件でも十分条件でもありません。

$\bar{p}$ とは $x\ne1$ なので、 $(\bar{p}$ かつ $q)$ とは「 $x=-1$ 」という条件と同値です。これが成り立つときは q が成り立ちますが、 q が成り立ってもこれは成り立ちません。よって、シには「十分条件だが必要条件でない」が入ることがわかります。

解答

ケコサシ：0331

参考

• 【基本】必要条件と十分条件（サッカーを例に）

解答編 つづき

問題

(2) 実数 x に関する条件 r を
\begin{eqnarray} r:x\gt 0 \end{eqnarray}とする。次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。

　3つの命題
　Ａ：「 $(p$ かつ $q) \implies$ r 」
　Ｂ：「 $q \implies r$ 」
　Ｃ：「 $\bar{q} \implies \bar{p}$ 」
の真偽について正しいものは $\myBox{ス}$ である。

0: Ａは真、Ｂは真、Ｃは真
1: Ａは真、Ｂは真、Ｃは偽
2: Ａは真、Ｂは偽、Ｃは真
3: Ａは真、Ｂは偽、Ｃは偽
4: Ａは偽、Ｂは真、Ｃは真
5: Ａは偽、Ｂは真、Ｃは偽
6: Ａは偽、Ｂは偽、Ｃは真
7: Ａは偽、Ｂは偽、Ｃは偽

解説

まずはＡを考えます。 $(p$ かつ $q)$ とは、「 $x=1$ 」という条件と同値です。このとき r が成り立つので、Ａは真です。

q が成り立つとき、 $x=-1$ もありえるので、 r が成り立つとは限りません。なので、Ｂは偽です。

最後のＣは対偶を考えたほうが楽でしょう。Ｃの真偽は、その対偶「$p \implies q$」の真偽と一致します。これは成り立つので、Ｃも真であることがわかります。

以上から、真偽真となる2が正解となります。

解答

ス：2