センター試験 数学I・数学A 2018年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ において $\mathrm{ AB }=2$, $\mathrm{ AC }=1$, $\angle \mathrm{ A }=90^{\circ}$ とする。

 $\angle \mathrm{ A }$ の二等分線と辺 BC との交点を D とすると、 $\mathrm{ BD }=\dfrac{\myBox{ア}\sqrt{\myBox{イ}}}{\myBox{ウ}}$ である。

 点 A を通り点 D で辺 BC に接する円と辺 AB との交点で A と異なるものを E とすると、 $\mathrm{ AB }\cdot \mathrm{ BE }=\dfrac{\myBox{エオ}}{\myBox{カ}}$ であるから、 $\mathrm{ BE }=\dfrac{\myBox{キク}}{\myBox{ケ}}$ である。

 次の $\mybox{コ}$ には下の 0 ~ 2 から、 $\mybox{サ}$ には 3・4 から当てはまるものを一つずつ選べ。

 $\dfrac{\mathrm{ BE }}{\mathrm{ BD }} \myBox{コ} \dfrac{\mathrm{ AB }}{\mathrm{ BC }}$ であるから、直線 AC と直線 DE の交点は辺 AC の端点 $\myBox{サ}$ の側の延長線上にある。

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

 3: A
 4: C

 その交点を F とすると、 $\dfrac{\mathrm{ CF }}{\mathrm{ AF }}=\dfrac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}}$ であるから、 $\mathrm{ CF }=\dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}}$ である。したがって、 BF の長さが求まり、 $\dfrac{\mathrm{ CF }}{\mathrm{ AC }}=\dfrac{\mathrm{ BF }}{\mathrm{ AB }}$ であることがわかる。

 次の $\mybox{タ}$ には下の 0 ~ 3 から当てはまるものを一つ選べ。

 点 D は $\triangle \mathrm{ ABF }$ の $\myBox{タ}$ 。

 0: 外心である
 1: 内心である

 2: 重心である
 3: 外心、内心、重心のいずれでもない

考え方

コからサの部分が少しわかりにくいですが、図をかいて考えればひらめきやすいでしょう。

タの部分も少しわかりにくいですが、直前に書かれている説明がかなり重要なヒントなので、ここも思いつくのはそれほど難しくありません。そもそも、中点や等しい長さが出てこないので重心はなさそうだし、垂線も出てこないので外心の可能性も低く、ありえるとしたら内心しかありません。と考えると、タの直線の説明をどう使うかがわかるはずです。