センター試験 数学I・数学A 2015年度 第6問 解説

問題編

【問題】
 $\triangle \mathrm{ ABC }$において、$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=5$、$\mathrm{ BC }=\sqrt{5}$とする。辺AC上に点Dを$\mathrm{ AD }=3$となるようにとり、辺BCBの側の延長と$\triangle \mathrm{ ABD }$の外接円との交点でBと異なるものをEとする。

 $\mathrm{ CE }\cdot \mathrm{ CB }=[アイ]$であるから、$\mathrm{ BE }=\sqrt{[ウ]}$である。

 $\triangle \mathrm{ ACE }$の重心をGとすると、$\displaystyle \mathrm{ AG }=\frac{[エオ]}{[カ]}$である。

 ABDEの交点をPとすると\[\frac{\mathrm{ DP }}{\mathrm{ EP }} = \frac{[キ]}{[ク]} \quad \cdots ①\]である。

 $\triangle \mathrm{ ABC }$と$\triangle \mathrm{ EDC }$において、点ABDEは同一円周上にあるので$\angle \mathrm{ CAB } = \angle \mathrm{ CED } $で、$\angle \mathrm{ C }$は共通であるから\[\mathrm{ DE }=[ケ]\sqrt{[コ]} \quad \cdots ②\]である。

 ①、②から、$\displaystyle \mathrm{ EP } = \frac{[サ]\sqrt{[シ]}}{[ス]}$である。

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【考え方】
まずは、図を正しく描くところから始めましょう。参考図がないので自分で描くしかありませんが、はじめでつまづくと後に響いてしまいます。

はじめは、方べきの定理を使います。重心については、BCEの中点になることから求めます。①は、メネラウスの定理を使います。図がきれいに描けていないと、少し気づきにくいかもしれません。

DEは三角形の相似から求めます。これらを組み合わせれば、最後を出すのもそれほど難しくありません。