【標準】循環小数と無限等比級数

🕒 2018/08/16 🔄 2023/06/24

ここでは、循環小数を、無限等比級数の和ととらえなおす方法を見ていきます。

📘 目次

循環小数の復習

循環小数とは、 $0.333\cdots$ のように、同じ数字の並びがある桁からずっと続いていく小数のことです。繰り返す場所は途中からでもよく、 $0.3181818\cdots$ というものも、循環小数です。これらは、循環している部分がどこなのか、はっきりさせるために、 $0.\dot{ 3 }$ や $0.3\dot{ 1 } \dot{ 8 }$ と書きます（参考：【基本】循環小数の表し方）。

【基本】実数の分類でも見た通り、循環小数は、有理数となります。つまり、ある整数 $m$ と0でない整数 $n$ を用いて、 $\dfrac{m}{n}$ の形で表すことができる、ということですね。

【標準】循環小数と分数では、循環小数を分数で表す方法を具体的に見ました。そのときには、例えば、 $0.\dot{ 3 }$ の場合なら、これを $x$ とおくと\[ 10x-x=3 \]となるから、 $0.\dot{ 3 }=\dfrac{1}{3}$ と表すことができる、というように考えました。

ここでは、この「循環小数を分数で表す方法」を、無限等比級数の和だと考えて求めなおしてみましょう。

循環小数と無限等比級数

$0.\dot{ 3 }$ について考えましょう。この循環小数は、次のように分解することができます。\[ 0.3+0.03+0.003+0.0003+\cdots \]つまり、初項が $0.3$ で公比が $0.1$ の無限等比級数となっていると考えられるわけですね。公比の絶対値が1未満なので、これは収束し、極限値は
\begin{eqnarray} \frac{0.3}{1-0.1}=\dfrac{1}{3} \end{eqnarray}となります（参考：【基本】無限等比級数）。これが、この循環小数の分数表現です。

無限等比級数の和を考えられるようになった今となっては、はじめに見た $x=0.\dot{3}$ と置いて考える方法は、少し「あいまいさ」があることがわかるでしょう。というのも、無限級数というのは、収束することもあれば、発散することもあります。 $0.\dot{3}$ というのは、 $0.3$, $0.33$, $0.333$ とどんどん桁を増やしていったときの極限です。これを $x$ とおいていろいろ式変形するということは、この極限が収束して、極限値が1つに決まると仮定してしまっています。

収束しないのに収束すると仮定すれば、変なことが起こってしまう、という話は、例えば、【標準】漸化式と等比数列の極限の後半部分で出てきます。 $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+1$ という漸化式の数列 $\{a_n\}$ があったとして、この数列が $\alpha$ に収束すると仮定すれば、 $\alpha=2\alpha+1$ から、 $\alpha=-1$ が得られますが、これはナンセンスな値です。正の項しか出てこないのに、極限値が負になることはありえません。

ただ、循環小数の場合は、結論からいうと、収束すると考えてしまっても構いません。循環小数のうち、繰り返される部分を無限等比級数の和と考えた場合、公比の絶対値が1より小さくなる（0.1とか0.01とか）ので、無限等比級数の和が収束することがわかります。今までの解き方がダメだったことにはならないのですが、本来は収束することの確認が必要だった、ということです。

次に、 $0.3\dot{ 1 } \dot{ 8 }$ を分数で表す方法を考えましょう。これは、\[ 0.3+0.018+0.00018+\cdots \]と分解できます。2項目以降の部分は、初項が $0.018$ で公比が $0.01$ の無限等比級数と考えられます。公比の絶対値は1より小さいので、収束し、極限値は
\begin{eqnarray} 0.3+0.018\times \dfrac{1}{1-0.01}=\frac{3}{10}+\frac{1}{55}=\frac{7}{22} \end{eqnarray}となります。

0.999…が1になることについて

【標準】循環小数と分数でも取り上げましたが、 $0.999\cdots=1$ となります。これを無限等比級数の観点で考えなおしてみましょう。

$0.999\cdots$ を次のように分解してみましょう。\[ 0.9+0.09+0.009+\cdots \]これの $n$ 項までの部分和は\[
0.9\times \frac{1-0.1^n}{1-0.1}=1-0.1^n \]となります。これは、例えば $n=3$ とすれば\[ 0.999=1-0.1^3 \]が成り立つ、ということですが、計算してみると確かにそうなることはすぐにわかります。

$0.999\cdots$ はこの部分和の極限のことですが、これは $0.1^n$ の部分が0に収束するのだから、\[ 0.999\cdots=1 \]が成り立つことがわかります。

$0.999\cdots$ が $1$ になることに違和感を覚える人もいるでしょう。それは $0.999\cdots$ の $9$ にひっぱられすぎです。前者は有限の桁で終わるのではなく、無限に続く、極限を考えています。つまり、式で書くとこうなります。\[ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n (9\times 0.1^k) \]これと $1$ との差は、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} 0.1^n$ と同じです。差の極限が $0$ となるのだから、 $0.999\cdots$ も $1$ となります。

また、 $x=0.999\cdots$ とおくと $10x=9.99\cdots$ となるのはわかると思いますが、 $10x-x=9$ となるのが気持ち悪く感じていた人もいるかもしれません。ずっと右のほうでズレが残るんじゃないか、と。有限の桁で考えれば確かにズレは残るのですが、極限を考えると、そのズレも0に収束することになります。