【応用】三項間漸化式

ここでは、三項を含んだ漸化式について見ていきます。

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三項間漸化式とは

【標準】等差数列#項数が3の等差数列で見たように、 $a_1,a_2,a_3$ がこの順で等差数列になっている場合、\[ 2a_2=a_1+a_3 \]が成り立ちます。これは、 $a_2$ から見ると、 $a_1$ は公差を引いたもの、 $a_3$ は公差を足したものだから成り立つ式ですね。

等差数列の場合、これは、はじめの3項に限らず、すべての自然数 n について次が成り立ちます。\[ 2a_{n+1} = a_n+a_{n+2} \]これを変形すると次のようになります。\[ a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n \]これは、 $n$ 項目と $(n+1)$ 項目を決めれば、 $(n+2)$ 項目が決まる、という式になっています。今まで見た漸化式(参考:【基本】漸化式)とは少し見た目が異なりますが、これも漸化式といいます。

このような漸化式は、項が3つあるので、三項間漸化式ということもあります。また、 $n,n+1,n+2$ という連続した3つの項に関係する漸化式なので、隣接三項間漸化式と呼ばれることもあります。

上で見た漸化式\[ a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n \]は、等差数列から作ったものですが、逆に、次のように変形すれば等差数列であることがわかりやすくなります。\[ a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n \]これは、「 $n$ 項目と $(n+1)$ 項目との差」と「 $(n+1)$ 項目と $(n+2)$ 項目との差」が等しいということです。これがすべての自然数 n に対して成り立つのだから、差が一定、つまり、等差数列だ、といえるわけですね。

この漸化式が等差数列を表すことがわかりましたが、一般項を求めるには他の条件も必要です。今までの二項間の漸化式のときは、初項の条件がついていましたね。上の例を見れば、初項だけでは足りないことがわかります。公差の情報が必要です。 $a_1$ 以外に $a_2$ の値もわかっていれば、一般項が求められますね。

ここまでのことを踏まえて、一般的な三項間漸化式の問題を見ていきましょう。

三項間漸化式の例題

例題
数列 $\{a_n\}$ が、 $a_1=1$, $a_2=5$ を満たし、すべての自然数 n に対して\[ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n \]が成り立つとする。この数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めなさい。

上で見た等差数列の場合と係数は異なりますが、似たような漸化式ですね。等差数列の場合は、「 $n$ 項目と $(n+1)$ 項目との差」と「 $(n+1)$ 項目と $(n+2)$ 項目との差」が同じでしたが、今の場合も似た式変形をしてみましょう。

まず、漸化式の右辺から左辺へ、 $2a_{n+1}$ を移項してみましょう。この $2a_{n+1}$ がどこから出てくるかは後で説明しますが、いったん、今は引いた後の式を考えてみます。
\begin{eqnarray}
a_{n+2}-2a_{n+1} &=& 3a_{n+1}-6a_n \\[5pt] a_{n+2}-2a_{n+1} &=& 3(a_{n+1}-2a_n) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。こうすると何がいいかというと、 $b_n=a_{n+1}-2a_n$ とおけば、左辺は $b_{n+1}$ で、右辺は $3b_n$ となります。つまり、 $\{b_n\}$ は等比数列です。

初項は
\begin{eqnarray}
b_1
&=&
a_2-2a_1 \\[5pt] &=&
5-2 \\[5pt] &=&
3
\end{eqnarray}なので、 $b_n=3^n$ であることがわかりますね。

しかし、どうすれば「 $2a_{n+1}$ を移項すればいい」と思いつけるのでしょうか。

特殊解

さて、先ほどは\[ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n \]をうまく変形して\[a_{n+2}-2a_{n+1} = 3(a_{n+1}-2a_n)\]が得られ、等比数列が得られました。ここでは、どうすればこのような変形が思いつくのか、を考えていきます。

この「上手い変形」のポイントは、左辺と右辺に(定数倍を除いて)同じ係数の式が出てくるところですね。つまり、次のように式変形できればうれしいわけですね。\[ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \]このように変形できれば、 $a_{n+1}-\alpha a_n$ の部分を別の式で置けば、公比が $\beta$ の等比数列ができるわけです。

すべて左辺に移項すると、次のような式になります。
\begin{eqnarray}
a_{n+2}-(\alpha+\beta) a_{n+1} +\alpha\beta a_n = 0
\end{eqnarray}これが元の漸化式と一致していればいい、つまり、\[ a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0 \]と一致していればいいということですね。係数を見れば、\[ \alpha+\beta=5,\ \alpha\beta=6 \]を満たす $\alpha,\beta$ があればいいわけですが、これらは解と係数の関係から\[ x^2-5x+6=0 \]の解であることがわかります(参考:【基本】二次方程式の解と係数の関係)。

この式は、もとの漸化式で、 $a_{n+2}$ を $x^2$ に、 $a_{n+1}$ を $x$ に、 $a_n$ を $1$ に置き換えた式です。二項間のときとは、特性方程式の作り方が違う点に注意しましょう(参考:【標準】漸化式(特殊解型))。

この式を解けば、 $x=2,3$ なので、漸化式は次のように変形できることがわかります。
\begin{eqnarray}
a_{n+2}-2 a_{n+1} &=& 3(a_{n+1}-2 a_n) \\[5pt] a_{n+2}-3 a_{n+1} &=& 2(a_{n+1}-3 a_n)
\end{eqnarray}実際に展開してみると、どちらの式からも元の漸化式が得られることがわかります。

1つ目の式は、さきほど $b_n$ を使って置き換えた式ですね。2つ目は、 $c_n=a_{n+1}-3 a_n$ とおくと、公比が $2$ の等比数列であることがわかります。初項は
\begin{eqnarray}
c_1=a_2-3a_1=2
\end{eqnarray}なので、 $c_n=2^n$ であることがわかります。

以上から
\begin{eqnarray}
a_{n+1}-2a_n &=& 3^n \\[5pt] a_{n+1}-3a_n &=& 2^n
\end{eqnarray}が成り立ちます。1つ目の式から2つ目の式を引けば、\[ a_n=3^n-2^n \]が得られます。これが答えです。

おわりに

ここでは、三項間漸化式の解き方について見てきました。以下の流れで考えていきます。

  • $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$ の漸化式から $x^2+px+q=0$ の解を求める
  • 上の解を $\alpha,\beta$ として、 $a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$ と変形する
  • $a_{n+1}-\alpha a_n$ の条件から、 $a_n$ の一般項を求める

手順は多いですが、等比数列を作るための変形( $x$ の二次方程式を作り、それを解いて、漸化式を変形するところ)さえできれば、他は難しい流れはないでしょう。一般項を求めた後は、いくつか値を代入して間違ってないか検算しましょう。