【応用】連立漸化式(一般型)

ここでは、係数に対称性のない、一般的な連立漸化式についてみていきます。

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一般的な連立漸化式を三項間漸化式に持ち込んで解く

例題
数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が次を満たしている。
\begin{eqnarray}
& & a_1=1,\ b_1=3 \\[5pt] & & a_{n+1}=3a_n+b_n \ (n=1,2,3,\cdots) \\[5pt] & & b_{n+1}=2a_n+4b_n \ (n=1,2,3,\cdots) \\[5pt] \end{eqnarray}数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項を求めなさい。

【応用】連立漸化式(対称型)のときとは異なり、係数に対称性がありません。1つ目の右辺の係数は $3,1$ で、2つ目は $2,4$ ですからね。入れ替えても一致しません。なので、2つの漸化式を単純に足したり引いたりしても、いい式が得られません。

そのため、1つの解き方としては、【応用】連立漸化式(対称型)の前半のように、三項間漸化式に持ち込む、という方法があります。

1つ目の漸化式を変形すれば\[ b_n=a_{n+1}-3a_n \]となります。 $n$ を $n+1$ としても成り立つので、\[ b_{n+1}=a_{n+2}-3a_{n+1} \]が得られます。これを1つ目の漸化式に代入すると
\begin{eqnarray}
a_{n+2}-3a_{n+1} &=& 2a_n+4(a_{n+1}-3a_n) \\[5pt] a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

あとは、【応用】三項間漸化式の方法を使えばいいですね。特性方程式\[ x^2-7x+10=0 \]の解は $x=2,5$ なので
\begin{eqnarray}
a_{n+2}-2a_{n+1} &=& 5(a_{n+1}-2a_n) \\[5pt] a_{n+2}-5a_{n+1} &=& 2(a_{n+1}-5a_n) \\[5pt] \end{eqnarray}という2つの式ができるため、これらから
\begin{eqnarray}
a_{n+1}-2a_n &=& 5^{n-1}(a_2-2a_1) \\[5pt] a_{n+1}-5a_n &=& 2^{n-1}(a_2-5a_1) \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。 $a_1=1$ であり、2つ目の漸化式から $a_2=3a_1+b_1=6$ なので
\begin{eqnarray}
a_{n+1}-2a_n &=& 4\cdot 5^{n-1} \\[5pt] a_{n+1}-5a_n &=& 2^{n-1} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。1つ目から2つ目の式を引いて
\begin{eqnarray}
3a_n &=& 4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1} \\[5pt] a_n &=& \frac{4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

これを1つ目の漸化式に代入して
\begin{eqnarray}
b_n
&=&
a_{n+1}-3a_n \\[5pt] &=&
\frac{4\cdot 5^n-2^n}{3}-3\cdot \frac{4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3} \\[5pt] &=&
\frac{4\cdot 5^{n-1}(5-3)-2^{n-1}(2-3)}{3} \\[5pt] &=&
\frac{8\cdot 5^{n-1}+2^{n-1}}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

一般的な連立漸化式を等比数列型に持ち込んで解く

もちろん上のようにして、三項間漸化式に持ち込んで解くこともできます。ただ、今まで等比数列型に持ち込んで解くことが多かったことを考えると、今の場合でも同じようにできないか、という発想もあるでしょう。

例えば、2つの漸化式を使って、次のような変形ができるとうれしいですよね。\[ a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n) \]【応用】連立漸化式(対称型)では、このような変形が簡単にできました。もし今回もこういうふうに変形できれば、数列 $\{a_n+\alpha b_n\}$ が等比数列だとわかるので、解きやすくなります。

左辺を、漸化式を用いて変形すると
\begin{eqnarray}
& &
a_{n+1}+\alpha b_{n+1} \\[5pt] &=&
3a_n+b_n+\alpha (2a_n+4b_n) \\[5pt] &=&
(3+2\alpha )a_n+(1+4\alpha)b_n \\[5pt] \end{eqnarray}となり、右辺を展開すると
\begin{eqnarray}
\beta(a_n+\alpha b_n)
&=&
\beta a_n+\alpha\beta b_n
\end{eqnarray}となります。これらが等しいことから、係数が等しい、つまり
\begin{eqnarray}
& & 3+2\alpha=\beta \\[5pt] & & 1+4\alpha=\alpha\beta \\[5pt] \end{eqnarray}の両方が成り立つはずです。1つ目の式を2つ目に代入すると
\begin{eqnarray}
1+4\alpha &=& \alpha(3+2\alpha) \\[5pt] 2\alpha^2-\alpha-1 &=& 0 \\[5pt] (2\alpha+1)(\alpha-1) &=& 0 \\[5pt] \alpha &=& 1,-\frac{1}{2}
\end{eqnarray}が得られます。 $\beta=3+2\alpha$ なので、\[(\alpha,\beta)=(1,5),\left(-\frac{1}{2},2\right)\]となります。

これで、目的の形\[ a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n) \]が得られます。つまり、もとの漸化式から次の2つの式が得られることがわかります。
\begin{eqnarray}
& & a_{n+1}+b_{n+1}=5(a_n+ b_n) \\[5pt] & & a_{n+1}-\frac{1}{2}b_{n+1}=2\left(a_n-\frac{1}{2} b_n\right) \\[5pt] \end{eqnarray}これらから
\begin{eqnarray}
a_n+ b_n &=& 5^{n-1}(a_1+b_1)=4\cdot 5^{n-1} \\[5pt] a_n-\frac{1}{2} b_n &=& 2^{n-1}\left(a_1-\frac{1}{2} b_1\right)=-\frac{2^{n-1}}{2}=-2^{n-2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。下の式を2倍して上の式に足すと
\begin{eqnarray}
3a_n &=& 4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1} \\[5pt] a_n &=& \frac{4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3}
\end{eqnarray}が得られ、これを使えば
\begin{eqnarray}
b_n
&=&
4\cdot 5^{n-1}-a_n \\[5pt] &=&
4\cdot 5^{n-1}-\frac{4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3} \\[5pt] &=&
\frac{8\cdot 5^{n-1}+2^{n-1}}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。

おわりに

ここでは、連立漸化式のうち、係数に対称性がないものを扱いました。三項間漸化式に持ち込む方法と、等比数列型に持ち込む方法、両方を見ましたが、どちらもヘビーですね。どちらで解くにしても、内容をよく理解して練習しておくことが必要です。