【応用】定積分の最大・最小

🕒 2018/12/17 🔄 2023/05/01

ここでは、積分区間に $x$ を含んだ関数に対して、最大値・最小値を求める問題を考えていきます。

📘 目次

定積分の最大・最小

例題

$0\leqq x\leqq 2$ のとき、次の関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めなさい。\[ f(x)=\int_0^x e^t(1-t)dt \]

一般的な関数に対して、最大値・最小値を求めるには、微分を利用すればいいのでしたね（参考：【標準】微分を利用して最大値・最小値を求める）。また、積分区間に $x$ を含んだ関数の微分は、【標準】定積分で表された関数を微分するなどでも見てきました。これらを組み合わせて考えていきましょう。

まず、関数 $f(x)$ を微分すると\[ f'(x)=e^x(1-x) \]になることがわかります。これは、【基本】定積分と微分の関係の復習で見た内容をそのまま使っています。これから、 $f'(x)=0$ となるのは、 $x=1$ のときだわかるので、増減表は次のようになります。
\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 2 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & & \searrow & \end{array}この増減表から、 $x=1$ で最大値をとることがわかります。また、最小値をとるのは $x=0$ か $x=2$ のどちらかであることがわかります。あとは、それぞれの関数の値を求めて考えていきましょう。

$x=0$ のときは、積分区間が $0$ から $0$ までとなるため、\[ f(0)=0 \]であることがわかります。 $x=1,2$ のときは、定積分を計算するしかありません。それぞれ計算することもできますが、同じような計算を2回しないといけません。それだと面倒なので、一度、不定積分を計算することにしましょう。つまり、\[ \int e^t(1-t)dt \]を計算して、「微分すると $e^t(1-t)$ になる関数」を求めておくということです。そうすると、 $1,2$ を代入するだけで定積分が求められます。

この不定積分は、部分積分を使って、次のように計算できます。
\begin{eqnarray} & & \int e^t(1-t)dt \\[5pt] &=& e^t(1-t)-\int e^t(1-t)'dt \\[5pt] &=& e^t(1-t)+\int e^t dt \\[5pt] &=& e^t(1-t)+e^t+C \\[5pt] \end{eqnarray}なお、 $C$ は積分定数です。

この不定積分の計算から、\[ F(t)=e^t(1-t)+e^t \]とおくと、
\begin{eqnarray} f(1) &=& \int_0^1 e^t(1-t)dt \\[5pt] &=& F(1)-F(0) \\[5pt] &=& (0+e)-(1+1) \\[5pt] &=& e-2 \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} f(2) &=& \int_0^2 e^t(1-t)dt \\[5pt] &=& F(2)-F(0) \\[5pt] &=& (-e^2+e^2)-(1+1) \\[5pt] &=& -2 \end{eqnarray}であることがわかります。不定積分を求めていたので、 $F(t)$ に $t=1,2$ を代入するだけで2つの定積分が求められています。2つの定積分をそれぞれ直接求めていたら、同じような部分積分を2回やることになるので、手間が増えてしまいます。

最小値をとる候補は、 $x=0,2$ の2つがありましたが、上の結果から、 $f(0)=0\gt f(2)=-2$ となることがわかりますね。

以上から、 $f(x)$ は、 $x=1$ のときに最大値 $e-2$ をとり、 $x=2$ のときに最小値 $-2$ をとることがわかります。