【基本】高次方程式の解き方

🕒 2017/06/24 🔄 2023/05/01

ここでは、三次以上の方程式を因数定理を用いて解く方法を見ていきます。

📘 目次

高次方程式を解く

例題

次の方程式を解きなさい。
(1) $2x^3+x^2-12x+9=0$
(2) $x^4-x^3-x^2-x-2=0$

三次方程式や四次方程式を解く問題では、二次方程式のときのような解の公式は使いません。【基本】因数定理を用いて、一次式の因数を見つけて解くようにします。つまり、「 $x=a$ を代入して等式が成り立てば、元の式は $x-a$ で割り切れる」ことを利用して、因数分解をしていく、ということですね。

ただ、どんな値を代入するか、は無限通りありますよね。対象は複素数全体なので。しかし、基本的には

定数項の約数 ÷ 最高次数の係数の約数

を試せばOKです。なぜこれでいいかは、この記事の後半で書くとして、普通はこれらを試すだけで解くことができます。といっても、まだ多いので、代入しやすいものから考えていきましょう。

(1)は定数項が $9$ で、最高次数は $2$ なので、代入する候補は、次のようになります。
\begin{eqnarray} & \pm9,\ \pm3,\ \pm1 \\[5pt] & \pm\frac{9}{2},\ \pm\frac{3}{2},\ \pm\frac{1}{2} \end{eqnarray}たくさんありますが、まずは $1$, $-1$ などから試していきましょう。

$x=1$ とすると、\[ 2+1-12+9=0 \]なので、成り立ちますね。このことから、 $x-1$ で左辺が割り切れることがわかります。【基本】筆算を使った整式の割り算のように、筆算を使って割り算をすると、次のようになることがわかります。
\begin{eqnarray} 2x^3+x^2-12x+9 &=& 0 \\[5pt] (x-1)(2x^2+3x-9) &=& 0 \end{eqnarray}さらに、【基本】たすき掛けを使った因数分解での内容を用いて、2つ目のカッコ内を因数分解すると、元の方程式は \begin{eqnarray} (x-1)(x+3)(2x-3)=0 \end{eqnarray}となります。このことから、それぞれのカッコ内が $0$ になるときを考えて\[ x=1,-3,\frac{3}{2} \]となります。どの解も上で挙げた候補に含まれていますが、簡単なものから入れていくほうが楽ですよね。「一次式×二次式」の形にできれば、二次式は必ず解けますからね。

続いて、(2)の\[ x^4-x^3-x^2-x-2=0\]について考えましょう。定数項が $-2$ で、最高次数は $1$ なので、代入する候補は
\begin{eqnarray} \pm2,\ \pm1 \end{eqnarray}です。 $x=1$ とすると\[ 1-1-1-1-2=-4 \]なのでダメですね。 $x=-1$ とすると\[ 1+1-1+1-2=0 \]なので、左辺は $x+1$ で割り切れることがわかります。実際に割ってみると\[ (x+1)(x^3-2x^2+x-2)=0 \]となります。

2つ目のカッコ内も因数分解しましょう。 $x=1$ を入れても $0$ にならないことはわかっているので代入する必要はありません。しかし、 $x=-1$ の方はもう1回入れて $0$ になる可能性はあります。が、\[ -1-2-1-2=-6 \]なのでダメですね。今回はダメでしたが、 $(x+1)^2$ を含む形に因数分解できる可能性があるので、もう一度試す必要はあります。

さて、続いて $x=2$ を入れると\[ 2^3-2\cdot 2^2+2-2=0 \]なので、 $x-2$ で割り切れることがわかります。このことから、筆算を使って割ってみると、\[ (x+1)(x-2)(x^2+1)=0 \]と変形できることがわかります。残りは二次式なので、解はわかりますね。このように因数分解できることから、解は\[ x=-1, 2, \pm i \]となることがわかります。