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【発展】三次方程式の解と係数の関係と式の値

ここでは、三次方程式の解と係数の関係を用いて、式の値を求める問題を考えます。

📘 目次

三次方程式の解と係数の関係と式の値

例題
三次方程式 $x^3-3x-5=0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とする。
(1) $\alpha^2 +\beta^2+ \gamma^2$ の値を求めなさい。
(2) $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)$ の値を求めなさい。
(3) $\alpha^3 +\beta^3+ \gamma^3$ の値を求めなさい。

解を使った式の値ですが、解を直接求めることは難しそうです。なので、解と係数の関係などを用いて、値を求めることを考えてみましょう。

【発展】三次方程式の解と係数の関係で見た、解と係数の関係より
\begin{eqnarray} & & \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a} \\[5pt] & & \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a} \\[5pt] & & \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \\[5pt] \end{eqnarray}なので、今の方程式にあてはめると \begin{eqnarray} & & \alpha+\beta+\gamma = 0 \\[5pt] & & \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3 \\[5pt] & & \alpha\beta\gamma = 5 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

これを踏まえて、(1)を考えてみましょう。上の3つの式の1つ目の左辺を2乗すると
\begin{eqnarray} & & (\alpha+\beta+\gamma)^2 \\[5pt] &=& \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \\ & & +2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ \end{eqnarray}となります。このことから、 \begin{eqnarray} & & \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \\[5pt] &=& (\alpha+\beta+\gamma)^2 \\ & & -2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\[5pt] &=& 0^2 -2\cdot (-3) \\[5pt] &=& 6 \end{eqnarray}となります。

(2)は、頑張って展開をして
\begin{eqnarray} & & (\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) \\[5pt] &=& \alpha\beta\gamma -(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ & & +(\alpha+\beta+\gamma) -1\\[5pt] &=& 5 -(-3) +0 -1\\[5pt] &=& 7\\[5pt] \end{eqnarray}と求めることができます。しかし、これは、方程式の左辺を因数定理を用いて因数分解をした式 \begin{eqnarray} x^3-3x-5 &=& (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \end{eqnarray}を利用したほうが楽です。この両辺に $x=1$ を代入してみましょう。すると、右辺から、求めたい式にとても良く似た式があらわれます。 \begin{eqnarray} 1^3-3\cdot 1-5 &=& (1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) \end{eqnarray}この両辺に $(-1)^3$ を掛ければ \begin{eqnarray} (\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) &=& 7 \end{eqnarray}と求められます。

(3)は、3乗の和なので、 $(\alpha+\beta+\gamma)^3$ を考えればよさそうですが、大変です。しかし、実は三乗の和に関する、もっと使える因数分解の式がありました。【応用】3つの3乗の和に関する因数分解(a^3+b^3+c^3-3abc)で見た内容を使えば
\begin{eqnarray} & & \alpha^3 +\beta^3+ \gamma^3 \\[5pt] &=& 3\alpha\beta\gamma \\ & & +(\alpha+\beta+\gamma)( \alpha^2 +\beta^2+ \gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha ) \end{eqnarray}と変形できます。ここで $\alpha+\beta+\gamma=0$ なので、後半部分は $0$ です。また、解と係数の関係から\[ 3\alpha\beta\gamma=15 \]なので、求める式の値は $15$ だとわかります。

もしこの因数分解が思いつかない場合でも大丈夫です。 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ がこの方程式の解であることから、 x に代入すると成り立つので、
\begin{eqnarray} \alpha^3 &=& 3\alpha+5 \\ \beta^3 &=& 3\beta+5 \\ \gamma^3 &=& 3\gamma+5 \\ \end{eqnarray}が成り立ちます。左辺を辺々加えたものが求める式です。一方、右辺を辺々加えたものは \begin{eqnarray} 3(\alpha+\beta+\gamma)+15=15 \end{eqnarray}となり、 $15$ であることがわかります。

おわりに

ここでは、三次方程式の解と係数の関係を用いて、式の値を求める問題を見ました。因数分解や因数分解、次数下げといったいろいろな計算を駆使して値を求めていきましょう。

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