東京大学 理系 2017年度 第4問 解説

解答編

問題

 $p=2+\sqrt{5}$ とおき、自然数 $n=1,2,3,\cdots$ に対して\[ a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n \]と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1) $a_1,a_2$ の値を求めよ。
(2) $n\geqq 2$ とする。積 $a_1a_n$ を、 $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ。
(3) $a_n$ は自然数であることを示せ。
(4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数を求めよ。

解答

(1)
\begin{eqnarray}
-\frac{1}{p}
&=&
-\frac{1}{2+\sqrt{5}} \\[5pt] &=&
-\frac{2-\sqrt{5}}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \\[5pt] &=&
2-\sqrt{5}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
a_1 &=& (2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5}) = 4 \\
a_2 &=& (2+\sqrt{5})^2+(2-\sqrt{5})^2 \\
&=&
4+4\sqrt{5}+5+4-4\sqrt{5}+5 \\
&=&
18
\end{eqnarray}となる。

(2)
\begin{eqnarray}
a_1a_n
&=&
\left(p-\frac{1}{p}\right) \left\{p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\right\} \\
&=&
p^{n+1}+\left(-\frac{1}{p}\right)^{n+1} -p^{n-1} -\left(-\frac{1}{p}\right)^{n-1} \\
&=&
a_{n+1}-a_{n-1} \\
\end{eqnarray}なので、\[ a_1a_n = a_{n+1}-a_{n-1} \]と表すことができる。

(3)
(1)より、 $n=1,2$ のときは $a_n$ は自然数である。

また、(1)(2)より
\begin{eqnarray}
4a_n &=& a_{n+1}-a_{n-1} \\
a_{n+1} &=& 4a_n+a_{n-1} \\
\end{eqnarray}が成り立つ。この式から $n=k,k+1$ のとき(k は自然数)、 $a_n$ が自然数なら $n=k+2$ のときも $a_n$ が自然数になることがわかる。

よって、数学的帰納法から、すべての自然数 n に対して、 $a_n$ が自然数になることがわかる。

(4)
$a_{n+1},a_n$ が自然数 m で割り切れるとき、 $a_{n-1}=a_{n+1}-4a_n$ より、 $a_{n-1}$ も m で割り切れる。よって、これを繰り返し用いると、 $a_1, a_2$ はともに m で割り切れる。よって、m は1か2しかない。これより、求める最大公約数は2以下であることがわかる。

$a_1,a_2$ は2で割り切れる。また、\[ a_{n+1} = 4a_n+a_{n-1} \]から、 $n=k,k+1$ のとき(k は自然数)、 $a_n$ が2で割り切れるなら $n=k+2$ のときも $a_n$ が2で割り切れることがわかる。よって、数学的帰納法から、すべての自然数 n に対して、 $a_n$ が2で割り切れることがわかるので、求める最大公約数は2以上である。

以上から、求める最大公約数は、2である。

(終)

解説

(1)は有理化をするだけです。(2)は p のまま変形してもいいですし、一般的な形で変形してから代入してもかまいません。

(3)は(2)の式からほとんど明らかです。 $a_1$ が具体的な値として求められるので、それを代入すれば数学的帰納法を使って示せます。

(4)も、(2)の式からほとんど明らかです。漸化式をさかのぼっていけるので、最大公約数は2以下であることがわかり、また同じ漸化式を用いて、どの項も2で割り切れることがわかるので、最大公約数が2であることが示せます。