東京大学 理系 2013年度 第6問 解説

問題編

問題

 座標空間において、 $xy$ 平面内で不等式 $|x|\leqq 1$, $|y|\leqq 1$ により定まる正方形 $S$ の4つの頂点を $\mathrm{A}(-1,1,0)$, $\mathrm{B}(1,1,0)$, $\mathrm{C}(1,-1,0)$, $\mathrm{D}(-1,-1,0)$ とする。正方形 $S$ を、直線 BD を軸として回転させてできる立体を $V_1$ 、直線 AC を軸として回転させてできる立体を $V_2$ とする。

(1) $0\leqq t\lt 1$ を満たす実数 $t$ に対し、平面 $x=t$ による $V_1$ の切り口の面積を求めよ。

(2) $V_1$ と $V_2$ の共通部分の体積を求めよ。

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考え方

図形自体はわかりやすいのですが、切り口がどうなるかを式で表すのは大変です。式で表すことさえできれば、積分の計算は大変ではないのですが、式で表すところまではなかなかたどりつけません。

(2)は(1)ができればすぐにできる、というわけではないですが、(1)が解ける実力があれば(2)もできるでしょう。