問題編
問題
A, B の2人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインが1枚あり、最初は A がそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。
(i) A がコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば A に1点を与え、コインは A がそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、 A はコインを B に渡す。
(ii) B がコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば B に1点を与え、コインは B がそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、 B はコインを A に渡す。
そして、 A, B のいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、この時点で A は1点、 B は2点を獲得しているので B の勝利となる。
(1) A, B あわせてちょうど $n$ 回コインを投げ終えたときに A の勝利となる確率 $p(n)$ を求めよ。
(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} p(n)$ を求めよ。
考え方
状況はそんなに複雑そうに見えないのに、(1)の確率を考える時点ですごく大変です。こういうケースでは確率漸化式を考えることが多いですが、この問題では直接確率を求めたほうがいいでしょう。何に注目して考えるかで、複雑さが大きく異なってきます。
(1)ができたとしても、(2)がまた大変です。部分和の計算には、いわゆる「等差×等比」の和が出てきますが、そのさらに複雑な応用バージョンも出てきます。部分和さえ出せれば、極限を求めるのはそれほどしんどくはないですが、そこまでたどり着くのは大変です。極限値も、直感的にパッとわかるような値ではありません。答えが出ても本当にあってるのか不安になる値です。