東京大学 理系 2013年度 第1問 解説

(現在の出題範囲とは異なる可能性があります)

問題編

問題

 実数 $a,b$ に対し平面上の点 $\mathrm{P}_n(x_n,y_n)$ を
\begin{eqnarray}
& & (x_0,y_0)=(1,0) \\[5pt] & & (x_{n+1},y_{n+1})=(ax_n-by_n,bx_n+ay_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)
\end{eqnarray}によって定める。このとき、次の条件(i), (ii)がともに成り立つような $(a,b)$ をすべて求めよ。

 (i) $\mathrm{P}_0=\mathrm{P}_6$

 (ii) $\mathrm{P}_0$, $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$, $\mathrm{P}_3$, $\mathrm{P}_4$, $\mathrm{P}_5$ は相異なる。

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考え方

点の定め方を実験して考えていくよりも、「条件を満たすものは何か」を予想してから考えていくほうが、点の定め方が何を表しているか、わかりやすいかもしれません。旧課程ではよく見る形ですが、現行課程では少し気づきにくいかもしれません。