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東京大学 理系 2013年度 第4問 解説

問題編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ において $\angle \mathrm{ BAC }=90^{\circ}$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=1$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }|=\sqrt{3}$ とする。 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内部の点 P が\[ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PA } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|} +\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PB } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|}+ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PC } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|}=\vec{0} \]を満たすとする。

(1) $\angle \mathrm{ APB }$, $\angle \mathrm{ APC }$ を求めよ。

(2) $|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|$ を求めよ。

考え方

(1)は、条件式をどう使うかひらめきが必要です。角度がわかるための変形をする、と考えると少しはひらめきやすいかもしれません。

(2)は、角度がわかってしまえば、あとはベクトルを使わなくても求められます。わからないものが3つありますが、成り立つ等式もたくさんあるので、計算しやすいものを選んで考えていきましょう。


解答編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ において $\angle \mathrm{ BAC }=90^{\circ}$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=1$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }|=\sqrt{3}$ とする。 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内部の点 P が\[ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PA } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|} +\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PB } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|}+ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PC } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|}=\vec{0} \]を満たすとする。

(1) $\angle \mathrm{ APB }$, $\angle \mathrm{ APC }$ を求めよ。

解答

P は\[ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PA } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|} +\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PB } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|}=
-\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PC } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|} \]を満たす。右辺の絶対値は $1$ なので、左辺の絶対値も $1$ である。左辺の絶対値の2乗を計算すると
\begin{eqnarray} & & \frac{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|^2}{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|^2} +\frac{2\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }\cdot\overrightarrow{ \mathrm{ PB } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }||\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|} +\frac{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|^2}{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|^2} \\[5pt] &=& 1+2\cos\angle \mathrm{ APB }+1 \end{eqnarray}であり、これが $1$ なので、 $\cos\angle \mathrm{ APB }=-\dfrac{1}{2}$ となる。これより、\[ \angle \mathrm{ APB }=120^{\circ} \]である。同様にして\[ \angle \mathrm{ APC }=120^{\circ} \]と求められる。

((1)終)

解答編 つづき

問題

(2) $|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|$ を求めよ。

解答

(2)
(1)より、
\begin{eqnarray} \angle \mathrm{ BPC } &=& 360^{\circ}-\angle \mathrm{ APB }-\angle \mathrm{ APC } \\[5pt] &=& 120^{\circ} \end{eqnarray}である。

$a=|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|$, $b=|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|$, $c=|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|$ とおくと、余弦定理から次の3つの式が成り立つ。
\begin{eqnarray} 1^2 &=& a^2+b^2-2ab \cos\angle \mathrm{ APB } \\[5pt] 2^2 &=& b^2+c^2-2bc \cos\angle \mathrm{ BPC } \\[5pt] (\sqrt{3})^2 &=& c^2+a^2-2ca \cos\angle \mathrm{ CPA } \\[5pt] \end{eqnarray}角度はすべて $120^{\circ}$ なので、これらは次のように変形できる。 \begin{eqnarray} a^2+b^2+ab &=& 1 \\[5pt] b^2+c^2+bc &=& 4 \\[5pt] c^2+a^2+ca &=& 3 \\[5pt] \end{eqnarray}2つ目から1つ目を辺々引くと \begin{eqnarray} c^2-a^2 +b(c-a) &=& 3 \\[5pt] (c-a)(a+b+c) &=& 3 \\[5pt] \end{eqnarray}が得られ、2つ目から3つ目を辺々引くと \begin{eqnarray} (b-a)(a+b+c) &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}が得られる。これより\[ (c-a)(a+b+c)=3(b-a)(a+b+c) \]となるが、 $a+b+c\gt 0$ なので \begin{eqnarray} c-a &=& 3(b-a) \\[5pt] c &=& 3b-2a \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。これを先ほどの式に代入して \begin{eqnarray} (c-a)(a+b+c) &=& 3 \\[5pt] (3b-2a-a)(a+b+3b-2a) &=& 3 \\[5pt] 3(b-a)(4b-a) &=& 3 \\[5pt] a^2-5ab+4b^2 &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。余弦定理から成り立つ式 $a^2+b^2+ab=1$ をこれから辺々引けば $b\gt 0$ より \begin{eqnarray} -6ab+3b^2 &=& 0 \\[5pt] b &=& 2a \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。これを $a^2+b^2+ab=1$ に代入すれば \begin{eqnarray} a^2+4a^2+2a^2 &=& 1 \\[5pt] a^2 &=& \frac{1}{7} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。 $a\gt 0$ より $a=\dfrac{\sqrt{7} }{7}$ であり、 $b=2a$ より $b=\dfrac{2\sqrt{7} }{7}$ である。また、 $c=3b-2a$ より $c=\dfrac{4\sqrt{7} }{7}$ となる。

よって、
\begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }| &=& \frac{\sqrt{7} }{7} \\[5pt] |\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }| &=& \frac{2\sqrt{7} }{7} \\[5pt] |\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }| &=& \frac{4\sqrt{7} }{7} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

((2)終)

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