東京大学 理系 2013年度 第4問 解説

問題編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ において $\angle \mathrm{ BAC }=90^{\circ}$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=1$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }|=\sqrt{3}$ とする。 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内部の点 P が\[ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }}{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|} +\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }}{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|}+ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }}{|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|}=\vec{0} \]を満たすとする。

(1) $\angle \mathrm{ APB }$, $\angle \mathrm{ APC }$ を求めよ。

(2) $|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|$ を求めよ。

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考え方

(1)は、条件式をどう使うかひらめきが必要です。角度がわかるための変形をする、と考えると少しはひらめきやすいかもしれません。

(2)は、角度がわかってしまえば、あとはベクトルを使わなくても求められます。わからないものが3つありますが、成り立つ等式もたくさんあるので、計算しやすいものを選んで考えていきましょう。