東京大学 文系 2019年度 第2問 解説

問題編

問題

 O を原点とする座標平面において、点 $\mathrm{ A }(2,2)$ を通り、線分 OA と垂直な直線を $l$ とする。座標平面上を点 $\mathrm{ P }(p,q)$ が次の2つの条件をみたしながら動く。

 条件1: $8\leqq \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \leqq 17$

 条件2:点 O と直線 l の距離を c とし、点 $\mathrm{ P }(p,q)$ と直線 l の距離を d とするとき $cd\geqq (p-1)^2$

このとき、P が動く領域を D とする。さらに、x 軸の正の部分と線分 OP のなす角を $\theta$ とする。

(1) D を図示し、その面積を求めよ。

(2) $\cos\theta$ のとりうる値の範囲を求めよ。

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考え方

めんどくさそうな条件に見えますが、一つ一つ言い換えていくと、それほどめんどうではありません。条件1から、直線で囲まれた領域を動くことがわかります。条件2は、点と直線の距離の公式を使うといいでしょう。条件1を使えば、絶対値を外すことができます。このことから、領域や面積を求めることができます。

(2)は、どのような場合に $\cos\theta$ が最大・最小になるかを、図を見ながら考えてみましょう。答えは不安な気持ちになる形です。