東京大学 文系 2019年度 第3問 解説

問題編

問題

 正八角形の頂点を反時計回りに A, B, C, D, E, F, G, H とする。また、投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインがある。
 点 P が最初に点 A にある。次の操作を10回繰り返す。

 操作:コインを投げ、表が出れば点 P を反時計回りに隣接する頂点に移動させ、裏が出れば点 P を時計回りに隣接する頂点に移動させる。

例えば、点 P が点 H にある状態で、投げたコインの表が出れば点 A に移動させ、裏が出れば点 G に移動させる。

 以下の事象を考える。

 事象 S:操作を10回行った後に点 P が点 A にある。

 事象 T:1回目から10回目の操作によって、点 P は少なくとも1回、点 F に移動する。

(1) 事象 S が起こる確率を求めよ。

(2) 事象 S と事象 T がともに起こる確率を求めよ。

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考え方

(1)は標準的な問題でしょう。表が何回出るか、で場合分けをして計算します。

(2)は、(1)の場合分けをさらに分けて考えていきます。場合分けの仕方はいろいろやり方はあるでしょう。数が少ないケースでは、頑張って計算せずに書き出してしまった方が安全かもしれません。どのような事象を考えればいいかはわかりやすいですが、対応するすべてのケースを漏らさずにノーミスで計算するのはなかなか大変かもしれません。