東京大学 文系 2019年度 第4問 解説

問題編

問題

 O を原点とする座標平面を考える。不等式\[ |x|+|y|\leqq 1 \]が表す領域を D とする。また、点 P, Q が領域 D が働くとき、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OR } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }$ を満たす点 R が動く範囲を E とする。

(1) D, E をそれぞれ図示せよ。

(2) a, b を実数とし、不等式\[ |x-a|+|y-b|\leqq 1 \]が表す領域を F とする。また、点 S, T が領域 F を動くとき、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OU } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OS } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OT } }$ をみたす点 U が動く範囲を G とする。 GE と一致することを示せ。

考え方

どこまで厳密に書けばいいのか悩ましいですね。

D は、ほぼ説明がなくてもいいかもしれませんが、丁寧に書くなら、条件によって絶対値を外して考えることになるでしょう。

P, Q は両方とも動くので、 E は少し考えづらいですね。 P, Q は独立に動くため、点 Q を固定して点 P が自由に動くとするとどうなるか、と考えるとわかりやすいかもしれません。どのあたりまで「明らか」として答案を書くかは難しいですが。

(2)の領域 F は、式の形から領域 D を平行移動したものだ、ということはすぐにわかるでしょう。 P, QS, T が平行移動によって対応しているとすれば、 RU はどのような関係になるか、ベクトルを使って考えてみましょう。