東京都 公立高校 2018年度 第5問 解説

問題編

問題

（サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください）

　右の図1に示した立体ABC-DEF は、$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=\mathrm{ AD }=9 \mathrm{ cm }$、 $\angle \mathrm{ BAC }=\angle \mathrm{ BAD }=\angle \mathrm{ CAD }=90^{\circ}$ の三角柱である。

　辺EF の中点をM とする。
　頂点C と点M を結び、線分CM 上にある点を P とする。
　頂点B と点P、 頂点Dと点P をそれぞれ結ぶ。

　次の各問に答えよ。

[問１] 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{　} }$ の中の「く」「け」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

　図1において点P が頂点C に一致するとき、 $\angle \mathrm{ BPD }$ の大きさは、 $\myBox{くけ}$ 度である。

[問２]　次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{　} }$ の中の「こ」「さ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

　右の図2は図1において頂点A と点P、頂点Bと頂点D をそれぞれ結んだ場合を表している。

　$\mathrm{ CP }:\mathrm{ PM }=2:1$ のとき、立体P-ABD の体積は、 $\myBox{こさ} \mathrm{ cm }^3$ である。

考え方

問1は、いきなり角度を考えるのは難しいので、その角を含む三角形の辺の長さから考えるようにしましょう。

問2は、「底面積×高さ÷3」の公式で出すことができます。どこを底面とするかは決めやすいですね。高さは、一度平面で切ってから考えると求めやすいです。方針が立ちやすいので、例年に比べると、取り組みやすいです。

解答編

問題

（サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください）

　右の図1に示した立体ABC-DEF は、$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=\mathrm{ AD }=9 \mathrm{ cm }$、 $\angle \mathrm{ BAC }=\angle \mathrm{ BAD }=\angle \mathrm{ CAD }=90^{\circ}$ の三角柱である。

　辺EF の中点をM とする。
　頂点C と点M を結び、線分CM 上にある点を P とする。
　頂点B と点P、 頂点Dと点P をそれぞれ結ぶ。

　次の各問に答えよ。

[問１] 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{　} }$ の中の「く」「け」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

　図1において点P が頂点C に一致するとき、 $\angle \mathrm{ BPD }$ の大きさは、 $\myBox{くけ}$ 度である。

解説

点P が頂点C にいるときの $\angle \mathrm{ BPD }$ とは、 つまり、 $\angle \mathrm{ BCD }$ を求めればいいということですね。

三角形ABC、三角形ACD、三角形ABD は、いずれも直角二等辺三角形です。よって、\[ \mathrm{ BC }=\mathrm{ CD }=\mathrm{ DB }=9\sqrt{2} \mathrm{ cm } \]なので、三角形BCD は正三角形です。よって、\[ \angle \mathrm{ BCD }=60^{\circ} \]となります。

解答

問１
く 6
け 0
（完答で5点）

解答編 つづき

問題

[問２]　次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{　} }$ の中の「こ」「さ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

　右の図2は図1において頂点A と点P、頂点Bと頂点D をそれぞれ結んだ場合を表している。

　$\mathrm{ CP }:\mathrm{ PM }=2:1$ のとき、立体P-ABD の体積は、 $\myBox{こさ} \mathrm{ cm }^3$ である。

解説

立体P-ABD は三角錐です。 ABD を底面と考えて体積を求めましょう。

三角形ABD の面積は\[ 9\times 9\times \frac{1}{2}=\frac{81}{2} \]より、 $\dfrac{81}{2} \mathrm{ cm }^2$ と求められます。

次に、高さを求めましょう。P から、三角形 ABD を含む平面に垂線を下ろして考えます。また、M からも垂線を下ろします。そして、平面と交わった点を、それぞれ、Q, R とおきます。PQ が立体P-ABD の高さです。

立体のまま考えると難しいので、3点 A, C, M を含む平面で切って考えましょう。

$\mathrm{ AC }=9\mathrm{ cm }$ です。また、中点連結定理より、 $\mathrm{ MR }=4.5\mathrm{ cm }$ です。 M から線分 AC に垂線を下ろし、 $\mathrm{ CP }:\mathrm{ PM }=2:1$ であることも使うと\[ 4.5+4.5\times\frac{1}{3}=6 \]より、 $\mathrm{ PQ }=6\mathrm{ cm }$ であることがわかります。

よって、立体P-ABD の体積は\[ \dfrac{81}{2}\times 6 \times \frac{1}{3}=81 \]から、 $81\mathrm{ cm }^3$ であると求められます。

解答

問２
こ 8
さ 1
（完答で5点）