直線 AB の方程式を $y=ax+b$ とすると、問1で求めた通り、 $\mathrm{ A }(-4,8)$, $\mathrm{ B }(6,18)$ だから、
\begin{eqnarray}
8=-4a+b \\[5pt]
18=6a+b \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立ちます。1つ目の式から2つ目の式を引いて
\begin{eqnarray}
-10 &=& -10a \\[5pt]
a &=& 1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、これを1つ目の式に代入して
\begin{eqnarray}
8 &=& -4\times 1+b \\[5pt]
b &=& 12 \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。よって、直線AB の方程式は $y=x+12$ であり、 Q の y 座標は $12$ とわかります。
点P は原点にいるので、線分 PQ の中点である M の座標は $(0,6)$ となります。
さて、2点B, M を通る直線の式を求めましょう。 M は y 軸上の点で、 y 座標が $6$ なので、この直線の切片は $6$ ですね。直線の傾きは、 y の増加量を x の増加量で割れば求められます。B, M の座標は、それぞれ、 $(6,18)$, $(0,6)$ なので、傾きは、\[ \frac{18-6}{6-0}=2 \]と求められます。
点P の x 座標を p とします。点P は $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 上の点なので、 y 座標は $\dfrac{1}{2}p^2$ となります。
点Q は、点P と x 座標が等しいので、点Q の x 座標は p です。また、点Q は直線AB 上の点であり、直線 AB の方程式は、先ほど求めた通り $y=x+12$ なので、点Q の y 座標は $p+12$ となります。
点M は、線分PQ の中点なので、 x 座標は p であり、 y 座標は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \times \left\{\frac{1}{2}p^2 +(p+12) \right\}
&=&
\frac{1}{4}p^2+\frac{1}{2}p+6
\end{eqnarray}となります。
さて、O, M, B の3つの点の座標に関する情報がそろったので、「直線 BM が原点を通る」という条件に関して方程式を作りましょう。今、M の座標はわかりませんが、B, O の座標はわかります。なので、「直線 BM が原点を通る」と考えるより、「直線 OB が点M を通る」と考えたほうが、考えやすくなります。
