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東京都 公立高校 2018年度 第3問 解説

問題編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)

 右の図1で点O は原点、曲線 $\ell$ は関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフを表している。

図1

 点A、点B はともに曲線 $\ell$ 上にあり、x 座標はそれぞれ $-4,6$ である。
 曲線 $\ell $ 上にある点を P とする。
 次の各問に答えよ。

[問1] 点Px 座標を ay 座標を b とする。
 a のとる値の範囲が $-4\leqq a \leqq 6$ のとき、b のとる値の範囲を次ののうちから選び、記号で答えよ。

  $-8\leqq b \leqq 18$
  $0\leqq b \leqq 8$
  $0\leqq b \leqq 18$
  $8\leqq b \leqq 18$

[問2] 右の図2図1において、点Px 座標が $-4$ より大きく $6$ より小さい数のとき、点A と点B を結び、線分AB 上にあり x 座標が点 Px 座標と等しい点をQ とし、点P と点Q を結び、線分PQ の中点を M とした場合を表している。

図2

 次の①, ②に答えよ。

① 点Py 軸上にあるとき、2点 B, M を通る直線の式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

  $y=2x+6$
  $y=\dfrac{1}{2}x+6$
  $y=3x$
  $y=2x$

② 直線BM が原点を通るとき、点P の座標を求めよ。

考え方

問1は、よくあるひっかけ問題です。グラフをよく見て考えましょう。

問2は、それぞれどのような状況かを把握してから考えましょう。P, Q, M に関する条件を式で書いて、方程式を作って考えていくようにしましょう。後半は、「直線 BM が原点を通る」という条件をそのまま考えるよりも、別の表現に言い換えたほうが考えやすくなるでしょう。


解答編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の表」「右の図」は「下の表」「下の図」と読み替えて考えてください)

 右の図1で点O は原点、曲線 $\ell$ は関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフを表している。

図1

 点A、点B はともに曲線 $\ell$ 上にあり、x 座標はそれぞれ $-4,6$ である。
 曲線 $\ell $ 上にある点を P とする。
 次の各問に答えよ。

[問1] 点Px 座標を ay 座標を b とする。
 a のとる値の範囲が $-4\leqq a \leqq 6$ のとき、b のとる値の範囲を次ののうちから選び、記号で答えよ。

  $-8\leqq b \leqq 18$
  $0\leqq b \leqq 8$
  $0\leqq b \leqq 18$
  $8\leqq b \leqq 18$

解説

まずは、A, B の座標を求めましょう。

両方とも $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフ上にあり、 x 座標はそれぞれ $-4,6$ なので、 y 座標は、\[ \frac{1}{2}\times(-4)^2=8 \]と\[ \frac{1}{2}\times6^2=18 \]となります。

$-4\leqq a \leqq 6$ のときに対応するのは、下の色のついた部分です。

これを見ると、y 座標が一番大きくなるのは、 $a=6$ のときで、その値は $18$ です。また、 y 座標が一番小さくなるのは、 $a=0$ のときで、その値は $0$ です。 $a=-4$ のときではないことに注意しましょう。

よって、 $0\leqq b \leqq 18$ が正しい範囲です。

解答

問1: ウ
(5点)

解答編 つづき

問題

[問2] 右の図2図1において、点Px 座標が $-4$ より大きく $6$ より小さい数のとき、点A と点B を結び、線分AB 上にあり x 座標が点 Px 座標と等しい点をQ とし、点P と点Q を結び、線分PQ の中点を M とした場合を表している。

図2

 次の①, ②に答えよ。

① 点Py 軸上にあるとき、2点 B, M を通る直線の式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

  $y=2x+6$
  $y=\dfrac{1}{2}x+6$
  $y=3x$
  $y=2x$

② 直線BM が原点を通るとき、点P の座標を求めよ。

解答

まず、① について考えます。

Py 軸上にあるとき、 Q, My 軸上にいます。

Qy 座標は、直線 AB の切片と一致します。そのため、直線 AB の方程式を求めましょう。

直線 AB の方程式を $y=ax+b$ とすると、問1で求めた通り、 $\mathrm{ A }(-4,8)$, $\mathrm{ B }(6,18)$ だから、
\begin{eqnarray} 8=-4a+b \\[5pt] 18=6a+b \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立ちます。1つ目の式から2つ目の式を引いて \begin{eqnarray} -10 &=& -10a \\[5pt] a &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となり、これを1つ目の式に代入して \begin{eqnarray} 8 &=& -4\times 1+b \\[5pt] b &=& 12 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。よって、直線AB の方程式は $y=x+12$ であり、 Qy 座標は $12$ とわかります。

P は原点にいるので、線分 PQ の中点である M の座標は $(0,6)$ となります。

さて、2点B, M を通る直線の式を求めましょう。 My 軸上の点で、 y 座標が $6$ なので、この直線の切片は $6$ ですね。直線の傾きは、 y の増加量を x の増加量で割れば求められます。B, M の座標は、それぞれ、 $(6,18)$, $(0,6)$ なので、傾きは、\[ \frac{18-6}{6-0}=2 \]と求められます。

以上から、① のとき、直線 BM の式は $y=2x+6$ と求められます。

続いて、② を考えます。

「直線 BM が原点を通るときはどんなときか?」と考えてもなかなか難しいので、点P の座標を文字で置いて、「直線 BM が原点を通る」という条件に関する方程式を作る、という方針で考えていきます。

Px 座標を p とします。点P は $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 上の点なので、 y 座標は $\dfrac{1}{2}p^2$ となります。

Q は、点Px 座標が等しいので、点Qx 座標は p です。また、点Q は直線AB 上の点であり、直線 AB の方程式は、先ほど求めた通り $y=x+12$ なので、点Qy 座標は $p+12$ となります。

M は、線分PQ の中点なので、 x 座標は p であり、 y 座標は
\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \times \left\{\frac{1}{2}p^2 +(p+12) \right\} &=& \frac{1}{4}p^2+\frac{1}{2}p+6 \end{eqnarray}となります。

さて、O, M, B の3つの点の座標に関する情報がそろったので、「直線 BM が原点を通る」という条件に関して方程式を作りましょう。今、M の座標はわかりませんが、B, O の座標はわかります。なので、「直線 BM が原点を通る」と考えるより、「直線 OB が点M を通る」と考えたほうが、考えやすくなります。

B の座標が $(6,18)$ であることから、直線 OB の方程式は、 $y=3x$ となります。これが点M を通るので、
\begin{eqnarray} \frac{1}{4}p^2+\frac{1}{2}p+6 &=& 3p \\[5pt] p^2+2p+24 &=& 12p \\[5pt] p^2-10p+24 &=& 0 \\[5pt] (p-4)(p-6) &=& 0 \\[5pt] p &=& 4,6 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

今、点Px 座標は $-4$ より大きく $6$ より小さいため、 $p=4$ であることがわかります。このときの y 座標は\[ \frac{1}{2}\times 4^2=8 \]と求められます。

解答

問2
① ア
② $(4,8)$
(①5点、②5点)

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