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東京都 公立高校 2018年度 第2問 解説

問題編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)

 ある中学校で、Sさんが作った問題をみんなで考えた。
 次の各問に答えよ。

[Sさんが作った問題]
 a, b, h を正の数とする。
 右の図1に示した立体ABCDEF-GHIJKL は、底面が1辺a cm の正六角形、高さがh cm、6つの側面が全て合同な長方形の正六角柱である。
図1

 正六角形ABCDEF において、対角線AD と対角線CF の交点をM、点M から辺AB に垂線を引き、辺AB との交点を N とし、線分MN の長さをb cmとする。
 立体ABCDEF-GHIJKL の表面積を $\mathrm{ P }\mathrm{ cm }^2$ とするとき、Pa, b, h を用いて表してみよう。

 Tさんは[Sさんが作った問題]の答えを次の形の式で表した。Tさんの答えは正しかった。

 <Tさんの答え> $\mathrm{ P }=6a \left(\ \bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } } \ \right)$

[問1] <Tさんの答え>の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ に当てはまる式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

 ア $\dfrac{1}{2}b+h$
 イ $b+h$
 ウ $b+2h$
 エ $2b+h$

先生は[Sさんが作った問題]をもとにして、次の問題を作った。

[先生が作った問題]
 $h,\ \ell,\ r$ を正の数とする。
 右の図2に示した立体は、底面が半径r cm の円、高さがh cm の円柱であり、2つの底面の中心 O, O' を結んでできる線分は、2つの底面に垂直である。
図2

 この立体について底面の円周を $\ell $cm、表面積をQ$\mathrm{ cm }^2$ とするとき、 $\mathrm{ Q }=\ell(h+r)$ となることを確かめなさい。

[問2] [先生が作った問題]で $\ell$ を r を用いて表し、 $\mathrm{ Q }=\ell(h+r)$ となることを証明せよ。ただし円周率は $\pi$ とする。

考え方

底面と側面に分けて、表面積を出します。上と下の2つに面があることに注意しましょう。

問2も、基本的には同じ流れですが、 $\ell$ をどのように言い換えるかをよく考えましょう。まず、問1と同じようにして Q を計算してから、 $\ell$ を使う、という順番で考えると解きやすいでしょう。


解答編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)

 ある中学校で、Sさんが作った問題をみんなで考えた。
 次の各問に答えよ。

[Sさんが作った問題]
 a, b, h を正の数とする。
 右の図1に示した立体ABCDEF-GHIJKL は、底面が1辺a cm の正六角形、高さがh cm、6つの側面が全て合同な長方形の正六角柱である。
図1

 正六角形ABCDEF において、対角線AD と対角線CF の交点をM、点M から辺AB に垂線を引き、辺AB との交点を N とし、線分MN の長さをb cmとする。
 立体ABCDEF-GHIJKL の表面積を $\mathrm{ P }\mathrm{ cm }^2$ とするとき、Pa, b, h を用いて表してみよう。

 Tさんは[Sさんが作った問題]の答えを次の形の式で表した。Tさんの答えは正しかった。

 <Tさんの答え> $\mathrm{ P }=6a \left(\ \bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } } \ \right)$

[問1] <Tさんの答え>の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ に当てはまる式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

 ア $\dfrac{1}{2}b+h$
 イ $b+h$
 ウ $b+2h$
 エ $2b+h$

解説

まずは、正六角形の部分について考えましょう。

三角形 ABM の面積は、 $\dfrac{ab}{2}\mathrm{ cm }^2$ です。正六角形の面積は、これを6倍したものなので、 $3ab\ \mathrm{ cm }^2$ となります。上と下、2つ正六角形があるので、合わせて $6ab\ \mathrm{ cm }^2$ となります。

次に、側面の部分を考えましょう。長方形 ABHG の面積は、 $ah\ \mathrm{ cm }^2$ となります。同じ大きさの長方形が6つあるので、 $6ah\ \mathrm{ cm }^2$ となります。

以上から、表面積について、
\begin{eqnarray} \mathrm{ P } &=& 6ab+6ah \\[5pt] &=& 6a(b+h) \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立ちます。

解答

問1 イ
(5点)

解答編 つづき

問題

先生は[Sさんが作った問題]をもとにして、次の問題を作った。

[先生が作った問題]
 $h,\ell,r$ を正の数とする。
 右の図2に示した立体は、底面が半径r cm の円、高さがh cm の円柱であり、2つの底面の中心 O, O' を結んでできる線分は、2つの底面に垂直である。
図2

 この立体について底面の円周を $\ell $cm、表面積をQ$\mathrm{ cm }^2$ とするとき、 $\mathrm{ Q }=\ell(h+r)$ となることを確かめなさい。

[問2] [先生が作った問題]で $\ell$ を r を用いて表し、 $\mathrm{ Q }=\ell(h+r)$ となることを証明せよ。ただし円周率は $\pi$ とする。

解説

円の部分の面積は、 $2\pi r^2\ \mathrm{ cm }^2$ となります。また、側面の部分は、縦が h cmで、横が底面の円周に等しい長方形なので、面積は $2\pi hr\ \mathrm{ cm }^2$ となります。よって、\[ \mathrm{ Q }=2\pi r^2+2\pi hr=2\pi r(h+r) \]となります。ここまで求められれば、あとは $\ell$ を使って表すだけですね。

解答

問2

2つの底面の面積を合わせると、 $2\times\pi r^2\ \mathrm{ cm }^2$ となる。また、側面は、縦が h cmで、横が底面の円周に等しい長方形なので、面積は\[ h\times 2\pi r=2\pi hr\ \mathrm{ cm }^2 \]となる。よって、表面積について、\[ \mathrm{ Q }=2\pi r^2+2\pi hr=2\pi r(h+r) \]が成り立つ。

また、底面の円周 $\ell$ は $2\pi r$ と等しいので、
\begin{eqnarray} 2\pi r(h+r)=\ell (h+r) \end{eqnarray}が成り立つ。

よって、 $\mathrm{ Q }=\ell (h+r)$ が成り立つ。

(7点)

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