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東京都 公立高校 2018年度 第1問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の表」「右の図」は「下の表」「下の図」と読み替えて考えてください)

[問1] $5-\dfrac{1}{3}\times(-9)$ を計算せよ。

[問2] $8(a+b)-(4a-b)$ を計算せよ。

[問3] $(\sqrt{7}+2\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3})$ を計算せよ。

[問4] 一次方程式 $4x-5=x-6$ を解け。

[問5] 連立方程式 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 7x -y =8 \\ -9x +4y =6 \end{array} \right. \end{eqnarray} を解け。

[問6] 二次方程式 $x^2+12x+35=0$ を解け。

[問7] 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ の中の「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

 右の表は、東京のある地点における4月7日の最高気温について、過去40年間の記録を調査し、度数分布表に整理したものである。
 最高気温が18℃以上であった日数は、全体の日数の $\myBox{あい}$ である。

階級(℃)度数(日)
以上  未満
8 ~ 101
10 ~ 124
12 ~ 142
14 ~ 167
16 ~ 188
18 ~ 205
20 ~ 229
22 ~ 244
40

[問8] 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ の中の「」「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
 右の図1で、 $\ell /\!/ m$ のとき、 x で示した角の大きさは、 $\myBox{うえお}$ 度である。

図1

[問9] 右の図2のように、円O の周上に点P、円O の内部に点Q がある。
 点P が点Q に重なるように1回だけ折るとき、折り目と重なる直線 $\ell$ を、定規とコンパスを用いて作図し、直線 $\ell$ を示す文字 $\ell$ も書け。
 ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

図2

考え方

どれも標準的な問題です。問2は、符号に気をつけましょう。問6は、解の公式を使う必要はありません。

問8は補助線をひいて考えましょう。問9は、直線 $\ell$ と PQ との関係について考えると、何を作図すればいいかひらめくと思います。


解答編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の表」「右の図」は「下の表」「下の図」と読み替えて考えてください)

[問1] $5-\dfrac{1}{3}\times(-9)$ を計算せよ。

[問2] $8(a+b)-(4a-b)$ を計算せよ。

[問3] $(\sqrt{7}+2\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3})$ を計算せよ。

解説

まずは、計算問題です。

問1は、右の掛け算の方から計算します。
\begin{eqnarray} 5-\dfrac{1}{3}\times(-9) &=& 5+3 \\[5pt] &=& 8 \end{eqnarray}これが答えです。

問2は、カッコをはずして計算していきます。2つ目のカッコをはずすときの b の符号に気をつけましょう。
\begin{eqnarray} & & 8(a+b)-(4a-b) \\[5pt] &=& 8a+8b-4a+b \\[5pt] &=& 4a+9b \\[5pt] \end{eqnarray}これが答えです。

問3は、和と差の積なので、展開の公式を使いましょう。
\begin{eqnarray} & & (\sqrt{7}+2\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3}) \\[5pt] &=& (\sqrt{7})^2-(2\sqrt{3})^2 \\[5pt] &=& 7-4\times 3 \\[5pt] &=& 7-12 \\[5pt] &=& -5 \end{eqnarray}これが答えです。

解答

問1: $8$
問2: $4a+9b$
問3: $-5$
(各問5点)

解答編 つづき

問題

[問4] 一次方程式 $4x-5=x-6$ を解け。

[問5] 連立方程式 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 7x -y =8 \\ -9x +4y =6 \end{array} \right. \end{eqnarray} を解け。

[問6] 二次方程式 $x^2+12x+35=0$ を解け。

解説

次の3問は方程式です。

問4は、次のようにして解きます。
\begin{eqnarray} 4x-5 &=& x-6 \\[5pt] 4x-x &=& 5-6 \\[5pt] 3x &=& -1 \\[5pt] x &=& -\frac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}これが答えです。

問5は、次の連立方程式ですね。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 7x -y =8 \\ -9x +4y =6 \end{array} \right. \end{eqnarray}1つ目の式を4倍したものと、2つ目の式を並べてみます。 \begin{eqnarray} 28x -4y =32 \\ -9x +4y =6 \end{eqnarray}左辺同士、右辺同士を足すと、 y が消えて、次のようになります。 \begin{eqnarray} 28x-9x &=& 32+6 \\[5pt] 19x &=& 38 \\[5pt] x &=& 2 \\[5pt] \end{eqnarray}これを1つ目の式に代入して \begin{eqnarray} 7\times 2-y&=&8 \\[5pt] -y&=&8-14 \\[5pt] -y&=&-6 \\[5pt] y&=&6 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

問6は、因数分解ができるので、因数分解をして解きましょう。
\begin{eqnarray} x^2+12x+35 &=& 0 \\[5pt] (x+5)(x+7) &=& 0 \\[5pt] x&=&-5,-7 \end{eqnarray}これが答えです。

解答

問4: $x=-\dfrac{1}{3}$
問5: $x=2,\ y=6$
問6: $x=-5,-7$
(各問5点)

解答編 つづき

問題

[問7] 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ の中の「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

 右の表は、東京のある地点における4月7日の最高気温について、過去40年間の記録を調査し、度数分布表に整理したものである。
 最高気温が18℃以上であった日数は、全体の日数の $\myBox{あい}$ である。

階級(℃)度数(日)
以上  未満
8 ~ 101
10 ~ 124
12 ~ 142
14 ~ 167
16 ~ 188
18 ~ 205
20 ~ 229
22 ~ 244
40

解説

まず、最高気温が18℃以上の日数を計算しましょう。18℃以上20℃未満、20℃以上22℃未満、22℃以上24℃未満、この3つの日数を足せばいいですね。これを計算すると\[ 5+9+4=18 \]なので、18日だ、とわかります。

これが全体の何%であるかは、割ればわかりますね。\[ 18\div 40=0.45 \]なので、45%と求められます。

解答

あ: 4
い: 5
(完答で5点)

解答編 つづき

問題

[問8] 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ の中の「」「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
 右の図1で、 $\ell /\!/ m$ のとき、 x で示した角の大きさは、 $\myBox{うえお}$ 度である。

図1

解説

図のように、 $\ell, m$ に平行な線をひき、 x を分割して考えましょう。

x の下側の部分は、錯角を考えて、70度とわかります。上側の部分も、錯角を考えて、\[
180-135=45 \]から、45度だとわかります。この2つを足せば x の大きさになるので、\[
70+45=115 \]だから、115度が答えだとわかります。

解答

う: 1
え: 1
お: 5
(完答で5点)

解答編 つづき

問題

[問9] 右の図2のように、円O の周上に点P、円O の内部に点Q がある。
 点P が点Q に重なるように1回だけ折るとき、折り目と重なる直線 $\ell$ を、定規とコンパスを用いて作図し、直線 $\ell$ を示す文字 $\ell$ も書け。
 ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

図2

解説

PQ が重なるように折るため、折り目は線対称の軸となります。これは、線分 PQ の垂直二等分線をかけばいいですね。

解答


(6点)

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