東京都 公立高校 2018年度 第4問 解説
問題編
問題
（サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください）
右の図1で、点O は線分AB を直径とする円の中心である。
図1 点C は円O の周上にある点で、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ である。
点P は、点C を含まない $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AB } }$ 上にある点で、点A、点B のいずれにも一致しない。
点A と点C、 点C と点P をそれぞれ結び、線分AB と線分CP との交点を Q とする。
次の各問に答えよ。[問1] 図1 において、 $\angle \mathrm{ ACP }=a^{\circ}$ とするとき、 $\angle \mathrm{ AQP }$ の大きさを表す式を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
ア $(60-a)$ 度
イ $(90-a)$ 度
ウ $(a+30)$ 度
エ $(a+45)$ 度[問2] 右の図2は図1において、点Aと点P、 点B と点Pをそれぞれ結び、線分BP をP の方向に延ばした直線上にあり $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ となる点を R とし、点A と点R を結んだ場合を表している。
図2 次の①, ②に答えよ。
① $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ であることを証明せよ。
② 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ の中の「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図2において点O と点P を結んだ場合を考える。
$\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }=2\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BP } }$ のとき、
$\triangle \mathrm{ ACQ }$ の面積は、四角形 AOPR の面積の $\dfrac{\myBox{か} }{\myBox{き} }$ 倍である。
考え方
問1は、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ という条件で、どこの角が求められるのかをよく考えましょう。
問2の前半は、明らかに等しいものが2つあるので、残る1つを探します。角度に関する条件を使いましょう。
後半は、相似を用いて面積比を考えていきます。問2の前半や問1の途中で得られた内容も利用して、考えていきましょう。
解答編
問題
（サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください）
右の図1で、点O は線分AB を直径とする円の中心である。
図1 点C は円O の周上にある点で、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ である。
点P は、点C を含まない $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AB } }$ 上にある点で、点A、点B のいずれにも一致しない。
点A と点C、 点C と点P をそれぞれ結び、線分AB と線分CP との交点を Q とする。
次の各問に答えよ。[問1] 図1 において、 $\angle \mathrm{ ACP }=a^{\circ}$ とするとき、 $\angle \mathrm{ AQP }$ の大きさを表す式を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
ア $(60-a)$ 度
イ $(90-a)$ 度
ウ $(a+30)$ 度
エ $(a+45)$ 度
解説
$\angle \mathrm{ AQP }$ は、三角形ACQ で考えたときの $\angle \mathrm{ AQC }$ の外角なので、\[ \angle \mathrm{ AQP }=\angle \mathrm{ ACP }+\angle \mathrm{ QAC } \]が成り立ちます。1つ目の $\angle \mathrm{ ACP }$ は $a^{\circ}$ ですね。 $\angle \mathrm{ QAC }$ を考えましょう。
$\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ なので、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ は、円O の円周の $\dfrac{1}{4}$ となります。よって、 $\angle \mathrm{ BOC }=90^{\circ}$ であり、円周角の定理から $\angle \mathrm{ BAC }=45^{\circ}$ となります。
以上から、 $\angle \mathrm{ AQP }$ は、 $(a+45)$ 度となります。
解答
問1 エ
（5点）
解答編 つづき
問題
[問2] 右の図2は図1において、点Aと点P、 点B と点Pをそれぞれ結び、線分BP をP の方向に延ばした直線上にあり $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ となる点を R とし、点A と点R を結んだ場合を表している。
図2 次の①, ②に答えよ。
① $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ であることを証明せよ。
解説
まず、条件から $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ が成り立ちます。また、 AP が共通だということもわかります。
あと1つ、条件が必要ですが、 $\angle \mathrm{ APB }$ に注目しましょう。これは半円の弧に対する円周角なので、90度です。これらのことを組み合わせれば、合同が証明できます。
解答
問2 ①
$\triangle \mathrm{ ABP }$ と $\triangle \mathrm{ ARP }$ において、
条件より、 $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ …(1)
共通な辺だから、 $\mathrm{ AP }=\mathrm{ AP }$ …(2)
$\angle \mathrm{ APB }$ は、半円の弧 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AB } }$ に対する円周角なので90度だから、 $\angle \mathrm{ APB }=\angle \mathrm{ APR }=90^{\circ}$ …(3)
(1)(2)(3)より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ が成り立つ。
（7点）
解答編 つづき
問題
② 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ の中の「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図2において点O と点P を結んだ場合を考える。
$\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }=2\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BP } }$ のとき、
$\triangle \mathrm{ ACQ }$ の面積は、四角形 AOPR の面積の $\dfrac{\myBox{か} }{\myBox{き} }$ 倍である。
解説
OP を結び、考えていきましょう。
四角形 AOPR というのが、少しわかりにくいですね。この図形について考えてみます。
$\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }=2\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BP } }$ なので、 $\angle \mathrm{ POB }=45^{\circ}$ ですね。円周角の定理から、 $\angle\mathrm{ PAB }=22.5^{\circ}$ です。① で示したように、 $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ だから、 $\angle \mathrm{ RAB }=45^{\circ}$ となります。
これらのことから、三角形BAR と三角形BOP は相似であることがわかります。また、 $\mathrm{ AB }=2\mathrm{ OB }$ なので、相似比は $2:1$ です。よって、面積比は $4:1$ となります。
以上より、四角形AOPR の面積は、三角形BOP の面積の3倍になることがわかります。
また、三角形ACQ と三角形OBP について、
$\angle \mathrm{ CAQ }=\angle \mathrm{ BOP }=45^{\circ}$
$\angle \mathrm{ ACQ }=\angle \mathrm{ OBP }$ ($\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AP } }$ に対する円周角)
なので、相似であることがわかります。
三角形 AOC は、直角二等辺三角形なので、 $\mathrm{ AC }:\mathrm{ OB }=\sqrt{2}:1$ だから、三角形ACQ の面積は、三角形OBP の面積の2倍であることがわかります。
- 四角形AOPR の面積は、三角形BOP の面積の3倍
- 三角形ACQ の面積は、三角形BOP の面積の2倍
解答
問2 ②
か 2
き 3
（完答で5点）