問題編
問題
（サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください）$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$
右の図1で、点O は線分AB を直径とする円の中心である。
図1 点C は円O の周上にある点で、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ である。
[問1] 図1 において、 $\angle \mathrm{ ACP }=a^{\circ}$ とするとき、 $\angle \mathrm{ AQP }$ の大きさを表す式を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
点P は、点C を含まない $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AB } }$ 上にある点で、点A、点B のいずれにも一致しない。
点A と点C、 点C と点P をそれぞれ結び、線分AB と線分CP との交点を Q とする。
次の各問に答えよ。ア $(60-a)$ 度
[問2] 右の図2は図1において、点Aと点P、 点B と点Pをそれぞれ結び、線分BP をP の方向に延ばした直線上にあり $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ となる点を R とし、点A と点R を結んだ場合を表している。
イ $(90-a)$ 度
ウ $(a+30)$ 度
エ $(a+45)$ 度図2 次の①, ②に答えよ。
① $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ であることを証明せよ。
② 次の の中の「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図2において点O と点P を結んだ場合を考える。
$\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }=2\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BP } }$ のとき、
$\triangle \mathrm{ ACQ }$ の面積は、四角形 AOPR の面積の $\dfrac{\myBox{か}}{\myBox{き}}$ 倍である。
考え方
問1は、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ という条件で、どこの角が求められるのかをよく考えましょう。
問2の前半は、明らかに等しいものが2つあるので、残る1つを探します。角度に関する条件を使いましょう。
後半は、相似を用いて面積比を考えていきます。問2の前半や問1の途中で得られた内容も利用して、考えていきましょう。