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東京都 公立高校 2018年度 第4問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)

 右の図1で、点O は線分AB を直径とする円の中心である。

図1

 点C は円O の周上にある点で、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ である。
 点P は、点C を含まない $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AB } }$ 上にある点で、点A、点B のいずれにも一致しない。
 点A と点C、 点C と点P をそれぞれ結び、線分AB と線分CP との交点を Q とする。
 次の各問に答えよ。

[問1] 図1 において、 $\angle \mathrm{ ACP }=a^{\circ}$ とするとき、 $\angle \mathrm{ AQP }$ の大きさを表す式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

 ア $(60-a)$ 度
 イ $(90-a)$ 度
 ウ $(a+30)$ 度
 エ $(a+45)$ 度

[問2] 右の図2図1において、点Aと点P、 点B と点Pをそれぞれ結び、線分BPP の方向に延ばした直線上にあり $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ となる点を R とし、点A と点R を結んだ場合を表している。

図2

 次の①, ②に答えよ。

① $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ であることを証明せよ。

② 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ の中の「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
 図2において点O と点P を結んだ場合を考える。
 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }=2\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BP } }$ のとき、
$\triangle \mathrm{ ACQ }$ の面積は、四角形 AOPR の面積の $\dfrac{\myBox{か} }{\myBox{き} }$ 倍である。

考え方

問1は、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ という条件で、どこの角が求められるのかをよく考えましょう。

問2の前半は、明らかに等しいものが2つあるので、残る1つを探します。角度に関する条件を使いましょう。

後半は、相似を用いて面積比を考えていきます。問2の前半や問1の途中で得られた内容も利用して、考えていきましょう。


解答編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)

 右の図1で、点O は線分AB を直径とする円の中心である。

図1

 点C は円O の周上にある点で、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ である。
 点P は、点C を含まない $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AB } }$ 上にある点で、点A、点B のいずれにも一致しない。
 点A と点C、 点C と点P をそれぞれ結び、線分AB と線分CP との交点を Q とする。
 次の各問に答えよ。

[問1] 図1 において、 $\angle \mathrm{ ACP }=a^{\circ}$ とするとき、 $\angle \mathrm{ AQP }$ の大きさを表す式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

 ア $(60-a)$ 度
 イ $(90-a)$ 度
 ウ $(a+30)$ 度
 エ $(a+45)$ 度

解説

$\angle \mathrm{ AQP }$ は、三角形ACQ で考えたときの $\angle \mathrm{ AQC }$ の外角なので、\[ \angle \mathrm{ AQP }=\angle \mathrm{ ACP }+\angle \mathrm{ QAC } \]が成り立ちます。1つ目の $\angle \mathrm{ ACP }$ は $a^{\circ}$ ですね。 $\angle \mathrm{ QAC }$ を考えましょう。

$\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ なので、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ は、円O の円周の $\dfrac{1}{4}$ となります。よって、 $\angle \mathrm{ BOC }=90^{\circ}$ であり、円周角の定理から $\angle \mathrm{ BAC }=45^{\circ}$ となります。

以上から、 $\angle \mathrm{ AQP }$ は、 $(a+45)$ 度となります。

解答

問1 エ
(5点)

解答編 つづき

問題

[問2] 右の図2図1において、点Aと点P、 点B と点Pをそれぞれ結び、線分BPP の方向に延ばした直線上にあり $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ となる点を R とし、点A と点R を結んだ場合を表している。

図2

 次の①, ②に答えよ。

① $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ であることを証明せよ。

解説

まず、条件から $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ が成り立ちます。また、 AP が共通だということもわかります。

あと1つ、条件が必要ですが、 $\angle \mathrm{ APB }$ に注目しましょう。これは半円の弧に対する円周角なので、90度です。これらのことを組み合わせれば、合同が証明できます。

解答

問2 ①
$\triangle \mathrm{ ABP }$ と $\triangle \mathrm{ ARP }$ において、

条件より、 $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ …(1)

共通な辺だから、 $\mathrm{ AP }=\mathrm{ AP }$ …(2)

$\angle \mathrm{ APB }$ は、半円の弧 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AB } }$ に対する円周角なので90度だから、 $\angle \mathrm{ APB }=\angle \mathrm{ APR }=90^{\circ}$ …(3)

(1)(2)(3)より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ が成り立つ。

(7点)

解答編 つづき

問題

② 次の $\bbox[2px, border:1px solid]{\qquad \sf{ } }$ の中の「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
 図2において点O と点P を結んだ場合を考える。
 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }=2\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BP } }$ のとき、
$\triangle \mathrm{ ACQ }$ の面積は、四角形 AOPR の面積の $\dfrac{\myBox{か} }{\myBox{き} }$ 倍である。

解説

OP を結び、考えていきましょう。

四角形 AOPR というのが、少しわかりにくいですね。この図形について考えてみます。

$\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }=2\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BP } }$ なので、 $\angle \mathrm{ POB }=45^{\circ}$ ですね。円周角の定理から、 $\angle\mathrm{ PAB }=22.5^{\circ}$ です。① で示したように、 $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ だから、 $\angle \mathrm{ RAB }=45^{\circ}$ となります。

これらのことから、三角形BAR と三角形BOP は相似であることがわかります。また、 $\mathrm{ AB }=2\mathrm{ OB }$ なので、相似比は $2:1$ です。よって、面積比は $4:1$ となります。

以上より、四角形AOPR の面積は、三角形BOP の面積の3倍になることがわかります。

また、三角形ACQ と三角形OBP について、
 $\angle \mathrm{ CAQ }=\angle \mathrm{ BOP }=45^{\circ}$
 $\angle \mathrm{ ACQ }=\angle \mathrm{ OBP }$ ($\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AP } }$ に対する円周角)
なので、相似であることがわかります。

三角形 AOC は、直角二等辺三角形なので、 $\mathrm{ AC }:\mathrm{ OB }=\sqrt{2}:1$ だから、三角形ACQ の面積は、三角形OBP の面積の2倍であることがわかります。

  • 四角形AOPR の面積は、三角形BOP の面積の3倍
  • 三角形ACQ の面積は、三角形BOP の面積の2倍
この2つのことから、三角形ACQ の面積は、四角形AOPR の面積の $\dfrac{2}{3}$ 倍になることがわかります。

解答

問2 ②
か 2
き 3
(完答で5点)

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