右の図1に示した立体ABC-DEF は、$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=\mathrm{ AD }=9 \mathrm{ cm }$、 $\angle \mathrm{ BAC }=\angle \mathrm{ BAD }=\angle \mathrm{ CAD }=90^{\circ}$ の三角柱である。
右の図1に示した立体ABC-DEF は、$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=\mathrm{ AD }=9 \mathrm{ cm }$、 $\angle \mathrm{ BAC }=\angle \mathrm{ BAD }=\angle \mathrm{ CAD }=90^{\circ}$ の三角柱である。
三角形ABC、三角形ACD、三角形ABD は、いずれも直角二等辺三角形です。よって、\[ \mathrm{ BC }=\mathrm{ CD }=\mathrm{ DB }=9\sqrt{2} \mathrm{ cm } \]なので、三角形BCD は正三角形です。よって、\[ \angle \mathrm{ BCD }=60^{\circ} \]となります。
次に、高さを求めましょう。P から、三角形 ABD を含む平面に垂線を下ろして考えます。また、M からも垂線を下ろします。そして、平面と交わった点を、それぞれ、Q, R とおきます。PQ が立体P-ABD の高さです。
立体のまま考えると難しいので、3点 A, C, M を含む平面で切って考えましょう。
$\mathrm{ AC }=9\mathrm{ cm }$ です。また、中点連結定理より、 $\mathrm{ MR }=4.5\mathrm{ cm }$ です。 M から線分 AC に垂線を下ろし、 $\mathrm{ CP }:\mathrm{ PM }=2:1$ であることも使うと\[ 4.5+4.5\times\frac{1}{3}=6 \]より、 $\mathrm{ PQ }=6\mathrm{ cm }$ であることがわかります。
